Поиск ошибки при делении степеней для произведения степеней трёх множителей — математический практикум для 7 класса

7 класс · 16 заданий, два контрастных варианта. В каждом числителе и знаменателе стоят произведения степеней трёх разных ненулевых оснований. Проверяйте, что одинаковые основания сокращаются только между собой: (2ᵃ·3ᵇ·5ᶜ):(2ᵈ·3ᵉ·5ᶠ) = 2ᵃ⁻ᵈ·3ᵇ⁻ᵉ·5ᶜ⁻ᶠ. В заданиях показатели в числителе не меньше соответствующих показателей в знаменателе.

Разбор контрольного примера с тремя основаниями

Пусть требуется упростить (2⁵·3³·5²):(2²·3¹·5¹). Числитель и знаменатель — произведения трёх степеней, но основания у них неодинаковые: 2, 3, 5. Разделяем дробь на три частных: (2⁵:2²)·(3³:3¹)·(5²:5¹). Разности показателей равны 3, 2, 1. Итог 2³·3²·5 = 8·9·5 = 360. Исходное частное тоже равно 360, так как умножение 360 на знаменатель восстанавливает исходный числитель.

У типичной ошибки здесь две формы. В первой забывают вычесть показатель у пятёрки и оставляют 5². Во второй пытаются объединить все показатели в один, будто (2·3·5)ⁿ равнялось исходному произведению независимо от показателей у трёх множителей. Это возможно лишь при дополнительных условиях, например одинаковых показателях. В нашей карточке они обычно различны.

Чтобы проверить ответ без больших степеней, запишите три маленькие разности и подставьте их обратно. Если у двойки разность равна нулю, то 2⁰=1 и этот множитель можно не писать в итоговом произведении. Пропуск единичного множителя не означает, что он «стал нулём».

Вариант А — ученик ошибся в одном из трёх показателей

1. Вычислите (2⁴·3³·5²) : (2¹·3¹·5¹). Проверяющий написал итог 2⁴·3²·5¹. Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
2. Вычислите (2⁵·3²·5³) : (2²·3¹·5²). Проверяющий написал итог 2³·3²·5¹. Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
3. Вычислите (2³·3⁴·5²) : (2¹·3²·5⁰). Проверяющий написал итог 2²·3²·5³. Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
4. Вычислите (2⁶·3²·5¹) : (2³·3⁰·5¹). Проверяющий написал итог 2⁴·3²·5⁰. Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
5. Вычислите (2⁵·3⁵·5²) : (2⁴·3³·5¹). Проверяющий написал итог 2¹·3³·5¹. Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
6. Вычислите (2⁴·3³·5⁴) : (2²·3¹·5³). Проверяющий написал итог 2²·3²·5². Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
7. Вычислите (2³·3⁵·5³) : (2²·3²·5¹). Проверяющий написал итог 2²·3³·5². Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.
8. Вычислите (2⁶·3⁴·5²) : (2³·3³·5⁰). Проверяющий написал итог 2³·3²·5². Укажите ошибку, исправьте показатели и проверьте обычным числом.

Вариант Б — неверно найдено целое значение

Здесь результат назван сразу десятичным числом. Восстановите все три разности показателей и выполните обратную проверку: умножьте правильное частное на исходный знаменатель. Отдельно обратите внимание на нулевой показатель: a⁰=1, но не 0.

1. На карточке: (2⁵·3³·5³) : (2³·3¹·5¹). Сосед подсчитал, что результат 8100. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
2. На карточке: (2⁴·3⁴·5³) : (2²·3³·5¹). Сосед подсчитал, что результат 7500. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
3. На карточке: (2⁶·3³·5²) : (2⁵·3⁰·5⁰). Сосед подсчитал, что результат 5400. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
4. На карточке: (2³·3⁴·5⁴) : (2¹·3¹·5²). Сосед подсчитал, что результат 24300. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
5. На карточке: (2⁵·3²·5²) : (2⁰·3¹·5⁰). Сосед подсчитал, что результат 60000. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
6. На карточке: (2⁴·3⁵·5³) : (2¹·3³·5²). Сосед подсчитал, что результат 1440. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
7. На карточке: (2⁶·3⁵·5²) : (2⁴·3²·5¹). Сосед подсчитал, что результат 4860. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.
8. На карточке: (2⁵·3⁴·5⁴) : (2²·3¹·5³). Сосед подсчитал, что результат 27000. Найдите настоящий результат и покажите проверку умножением обратно на знаменатель.

Почему варианты требуют двух разных методов

Вариант А тренирует чтение готового упрощения: проверяющий видит три показателя и должен найти ровно ту разность, которая была записана неверно. Удобно пронумеровать основания в одинаковом порядке 2, 3, 5 и составить рядом короткий трёхколоночный расчёт. Например, при показателях числителя (4,3,2) и знаменателя (1,1,1) ответ должен иметь показатели (3,2,1). Любое значение (4,2,1) оставляет у двойки лишний множитель 2.

Вариант Б проверяет другой навык — восстановление ответа из обычного числа. Даже если число выглядит правдоподобно, умножение на исходный знаменатель мгновенно обнаруживает ошибку. При правильном ответе произведение обязано равняться исходному числителю, потому что все основания ненулевые. Такая обратная проверка особенно полезна, если две ошибки показателей частично компенсируются при небрежном устном счёте.

Объяснение ученика считается завершённым, когда присутствуют три разности, одно целое итоговое значение и хотя бы одно обратное умножение. Фраза «в результате получилось меньше» не доказывает правильность: многие неверные числа тоже меньше исходного числителя.

Взаимная проверка двух вариантов

Первый ученик показывает три разности показателей, второй проверяет равенство «частное × знаменатель = числитель». Затем меняются ролями. Если при каком-либо основании получилась нулевая разность, соответствующий множитель в результате равен единице. Ошибка одного показателя меняет всё произведение.

Ключ варианта А

1. Покомпонентно: 4−1=3, 3−1=2, 2−1=1; верно 2³·3²·5¹ = 360. Заявленное значение неверно в показателе при основании 2.
2. Покомпонентно: 5−2=3, 2−1=1, 3−2=1; верно 2³·3¹·5¹ = 120. Заявленное значение неверно в показателе при основании 3.
3. Покомпонентно: 3−1=2, 4−2=2, 2−0=2; верно 2²·3²·5² = 900. Заявленное значение неверно в показателе при основании 5.
4. Покомпонентно: 6−3=3, 2−0=2, 1−1=0; верно 2³·3²·5⁰ = 72. Заявленное значение неверно в показателе при основании 2.
5. Покомпонентно: 5−4=1, 5−3=2, 2−1=1; верно 2¹·3²·5¹ = 90. Заявленное значение неверно в показателе при основании 3.
6. Покомпонентно: 4−2=2, 3−1=2, 4−3=1; верно 2²·3²·5¹ = 180. Заявленное значение неверно в показателе при основании 5.
7. Покомпонентно: 3−2=1, 5−2=3, 3−1=2; верно 2¹·3³·5² = 1350. Заявленное значение неверно в показателе при основании 2.
8. Покомпонентно: 6−3=3, 4−3=1, 2−0=2; верно 2³·3¹·5² = 600. Заявленное значение неверно в показателе при основании 3.

Ключ варианта Б

1. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2²·3²·5² = 900. Обратная проверка: 900·120=108000, значит ошибка в заявленном числе 8100.
2. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2²·3¹·5² = 300. Обратная проверка: 300·540=162000, значит ошибка в заявленном числе 7500.
3. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2¹·3³·5² = 1350. Обратная проверка: 1350·32=43200, значит ошибка в заявленном числе 5400.
4. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2²·3³·5² = 2700. Обратная проверка: 2700·150=405000, значит ошибка в заявленном числе 24300.
5. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2⁵·3¹·5² = 2400. Обратная проверка: 2400·3=7200, значит ошибка в заявленном числе 60000.
6. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2³·3²·5¹ = 360. Обратная проверка: 360·1350=486000, значит ошибка в заявленном числе 1440.
7. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2²·3³·5¹ = 540. Обратная проверка: 540·720=388800, значит ошибка в заявленном числе 4860.
8. Степени трёх оснований упрощаем независимо: 2³·3³·5¹ = 1080. Обратная проверка: 1080·1500=1620000, значит ошибка в заявленном числе 27000.

Главная ловушка: нельзя складывать показатели оснований 2, 3 и 5 и считать результат одной степенью, как будто основания одинаковы. Для разных оснований сокращение проводят по каждому отдельному множителю.