Восстановление пропущенного показателя при одинаковых основаниях и разных знаках: мини-практикум с ответами, 7 класс

7 класс · 14 задач с доказательствами. Нужно восстановить показатель x, когда числитель и знаменатель имеют одинаковое положительное основание, но перед степенями стоят разные знаки «+» и «−». Этот материал намеренно не посвящён отрицательному основанию (−a) — для него отдельная карточка.

Подозрительное утверждение

«Из равенства −2^x : 2³ = 2⁴ можно найти x=7». Нет: левая часть отрицательна, правая положительна. При положительных степенях положительного числа знаки несовместимы — решений нет. Показатели сравнивают только после проверки знаков.

Почему метод работает

При a > 1 и целых x ≥ n ≥ 0 имеем (s·a^x):(t·aⁿ) = (s/t)·a^x−n, где s и t равны +1 либо −1. Если s/t имеет тот же знак, что правая часть, то a^x−n=a^r, откуда x=n+r. Если знаки не совпадают, решения нет. Поскольку a>1, разные целые показатели дают разные степени.

Особые случаи до решения

• Деление на ноль здесь не встречается: основание a строго больше 1.
• Знак «−» перед степенью относится ко всему числу: −3² = −9; это не запись (−3)².
• Если правая часть нулевая, решений нет: ни одна степень положительного числа не равна нулю.
• Если x и n равны, частное степеней по модулю равно 1; знак зависит от двух внешних знаков.

Как доказать невозможность равенства без поиска x

Рассмотрим −3ˣ : 3² = +3³. При любом x≥0 число 3ˣ положительно. После умножения на внешний минус числитель остаётся отрицательным, знаменатель 3²=9 положителен. Поэтому всё частное строго отрицательное. Правая часть 3³=27 положительна. Никакое изменение показателя x не превратит отрицательное число в положительное. Ответ «решений нет» здесь доказывается знаком; пробовать x=0,1,2,… по очереди не требуется.

В другом примере −4ˣ:4⁴ = −4⁰ обе стороны отрицательны. Сравним модули: 4ˣ:4⁴=1. Умножим обе стороны на 4⁴, получим 4ˣ=4⁴, значит x=4. Подстановка даёт −256:256=−1. Не следует заменять отрицательную единицу нулём: 4⁰=1, а внешний минус делает её −1.

Точная формулировка уравнения со знаками

Чтобы избежать неоднозначной записи, обозначьте положительное основание буквой a, а внешние знаки — буквой s со значениями +1 или −1. Тогда число перед дробью можно мысленно записать как s·(aˣ/aⁿ). Его модуль равен aˣ⁻ⁿ, а знак целиком задаётся s. Когда справа стоит r·aᵏ, где r тоже +1 или −1, сначала сравните s и r. Только при их равенстве имеет смысл уравнение x−n=k. Это аккуратнее, чем пытаться «перенести минус в показатель».

Важно различать две задачи: в одной требуется найти x, а в другой доказать, что x не существует в указанной области. Оба вида имеют полноценные ответы. Утверждение «нет решения» нельзя заменять догадкой «x отрицательный»: даже при отрицательном x степень положительного основания была бы положительна и знак остался бы прежним.

В заданиях используется основа a>1: это гарантирует, что равенство aˣ=aʸ означает x=y. Для основания 1 это не так, поскольку 1ˣ=1 при разных x. Поэтому нельзя переносить вывод о единственности показателя на любое ненулевое основание без уточнения условий.

Задачи — обоснуйте найденный показатель или отсутствие решения

1. −2^x : 2³ = −2⁴. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
2. −3^x : 3² = +3³. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
3. +5^x : 5¹ = −5². Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
4. −4^x : 4⁴ = +4⁰. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
5. −6^x : 6² = −6². Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
6. +7^x : 7³ = +7¹. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
7. +8^x : 8¹ = −8³. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
8. −9^x : 9² = −9⁰. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
9. +2^x : 2⁵ = +2². Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
10. −3^x : 3⁴ = +3¹. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
11. +5^x : 5³ = +5⁰. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.
12. +7^x : 7² = −7⁴. Для x — целого неотрицательного показателя — найдите все решения. Проверьте знак и затем значение.

Порядок доказательства в ответах

В каждом решении удобно написать три короткие строки. Первая — «знаки совпадают» либо «знаки не совпадают». Вторая — равенство модулей, например 7ˣ:7³=7¹. Третья — переход к показателям x−3=1 и окончательный ответ x=4. Подстановка исходного выражения нужна, чтобы исключить пропуск внешнего минуса при переписывании.

Иногда при удачно подобранных числах x совпадает с показателем знаменателя. Тогда частное по модулю равно a⁰=1, но знак по-прежнему важен. Если внешние знаки различны, уравнение с правой частью ±1 остаётся невозможным. Значение 1 не позволяет «забыть» отрицательный знак.

Для самостоятельной проверки выполните пример +5ˣ:5³=+5⁰. Так как 5⁰=1, получаем 5ˣ:125=1, значит x=3. Теперь измените только знак правой части на минус. Числа 5ˣ и 125 по-прежнему положительны, следовательно ни одного допустимого x больше нет. Сравнение двух почти одинаковых условий показывает, зачем проверять знаки до вычислений.

Решения с доказательствами

1. Знаки совпадают. По модулю 2^x : 2³ = 2⁴, то есть x−3=4, значит x=7. Контроль: 2⁷ : 2³=2⁴ по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
2. Решений нет: слева знак минус, справа плюс. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.
3. Решений нет: слева знак плюс, справа минус. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.
4. Решений нет: слева знак минус, справа плюс. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.
5. Знаки совпадают. По модулю 6^x : 6² = 6², то есть x−2=2, значит x=4. Контроль: 6⁴ : 6²=6² по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
6. Знаки совпадают. По модулю 7^x : 7³ = 7¹, то есть x−3=1, значит x=4. Контроль: 7⁴ : 7³=7¹ по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
7. Решений нет: слева знак плюс, справа минус. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.
8. Знаки совпадают. По модулю 9^x : 9² = 9⁰, то есть x−2=0, значит x=2. Контроль: 9² : 9²=9⁰ по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
9. Знаки совпадают. По модулю 2^x : 2⁵ = 2², то есть x−5=2, значит x=7. Контроль: 2⁷ : 2⁵=2² по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
10. Решений нет: слева знак минус, справа плюс. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.
11. Знаки совпадают. По модулю 5^x : 5³ = 5⁰, то есть x−3=0, значит x=3. Контроль: 5³ : 5³=5⁰ по модулю; требуемый внешний знак сохранён.
12. Решений нет: слева знак плюс, справа минус. Показатель x не может поменять знак положительного a^x.

Вывод: знак — это не показатель

При одинаковом положительном основании нужно делать две независимые проверки. Сначала определить знак всей дроби: минус на минус даёт плюс, минус на плюс — минус. Затем сравнить показатели, если это позволяет знак. Попытка «исправить» несовпадение знаков изменением показателя при положительном основании не работает.

Два случая, когда минус стоит и в знаменателе

1. Найдите x в выражении (−2^x) : (−2³) = +2⁴. Два минуса дают плюс, поэтому по модулю 2^x−3=2⁴, x=7. Подстановка: (−128):(−8)=16.
2. Может ли выполняться (+3^x):(−3²)=+3³? Нет: слева отрицательное число при любом x≥0, справа +27. Противоречие в знаках нельзя устранить подбором показателя.

Внешний знак можно считать отдельным множителем, равным +1 или −1. Сначала разделите эти множители знака, потом степени с одинаковыми положительными основаниями. Такая последовательность действий помогает не потерять минус в длинной дроби.