Восстановление пропущенного показателя при отрицательном основании — самостоятельная работа, 7 класс

Мини-тест для 7 класса · 12 вопросов. Восстанавливайте неизвестный целый неотрицательный показатель при отрицательном основании. Особое внимание — чётности, нулевому показателю и скобкам.

Контрольные примеры перед тестом

Если a>0, то (−a)^2k положительно, а (−a)^2k+1 отрицательно. Записи (−3)²=9 и −3²=−9 различаются: без скобок минус стоит снаружи степени. При нулевом показателе (−7)⁰=1, но −7⁰=−1. Для данного модуля результата степень обычно определяется сравнением с 2ˣ, 3ˣ и т. п.; затем отдельно проверьте знак.

Схема решения: значение по модулю и проверка чётности

Чтобы восстановить x в (−2)ˣ=−32, сначала отбросьте знак и найдите 2ˣ=32, то есть x=5. Затем проверьте, что пятая степень нечётная: исходное значение действительно отрицательно. Для (−3)ˣ=−81 первый шаг тоже возможен: 3ˣ=81 означает x=4. Но второй шаг выявляет противоречие, потому что четвёртая степень отрицательного числа положительна. Так появляется корректный ответ «решения нет».

Не смешивайте записи (−2)⁴ и −2⁴. Первая равна +16, потому что минус входит в основание. Вторая равна −16, потому что четвёртую степень сначала берут у числа 2, а потом ставят минус. Если в правой части стоит −2⁰, там результат −1, в то время как (−2)⁰=1. Это не вопрос оформления: скобки меняют результат.

Две тонкости из контрольной

При основании −1 невозможно восстановить единственный показатель из значения −1: подходит всякая нечётная степень. При основаниях −2, −3 и других с модулем больше единицы абсолютная величина положительных степеней растёт; поэтому условие обычно определяет не больше одного целого неотрицательного показателя.

Равенство (−7)ˣ=0 не имеет решений ни при чётных, ни при нечётных показателях. Любая степень ненулевого основания остаётся ненулевой. Проверка такого случая по очереди для x=0,1,2 не является доказательством; достаточно общего свойства произведения ненулевых множителей.

Вопросы — найдите x или докажите отсутствие решения

1. (−2)^x = −32. Найдите x.
2. (−3)^x = 81. Найдите x.
3. (−4)^x = −64. Найдите x.
4. (−2)^x = 16. Обоснуйте ответ.
5. (−3)^x = −81. Есть ли целый неотрицательный x?
6. (−5)^x = 1. Восстановите показатель.
7. (−1)^x = −1. Укажите все x≥0.
8. (−2)^x = −2⁴. Сколько решений?
9. (−6)^x = 36. Найдите x.
10. (−10)^x = −1000. Найдите x.
11. (−7)^x = 0. Возможен ли x≥0?
12. (−2)^x = −2⁰. Найдите все x≥0.

Оценивание и самопроверка

За верный показатель или верное заключение об отсутствии решения — 1 балл, всего 12. Результаты 11–12 — уверенное владение знаками, 8–10 — повторите задачи 5, 8, 12, 5–7 — вернитесь к чётности; 0–4 — сначала разберите три контрольных примера и пройдите тест повторно.

Как объяснять ошибки при оценивании

Для кратких вопросов достаточно назвать x и привести одну подстановку; в задачах 5, 8, 11 и 12 принципиальна аргументация о знаке или невозможности результата. Например, в задании 5 математически верно сравнить модули −81 и (−3)⁴, но этого недостаточно для утверждения о решении. Надо показать, что знак вычисленной степени неверен.

Если ученик написал один нечётный x в пункте про (−1)ˣ=−1, это только пример подходящего значения, а не полный ответ. Полный ответ — все нечётные неотрицательные целые числа (то есть 1, 3, 5, …). Напротив, когда модуль основания больше 1, одно значение x после правильной проверки знака может оказаться единственным.

При повторной попытке сначала решите задания с однозначным показателем, затем задачи «нет решений» и только после них — семейство показателей для −1. Такой порядок помогает отличать проверку отдельного числа от поиска полного множества решений.

Подробный ключ

1. x=5: (−2)⁵=−32, нечётный показатель даёт минус.
2. x=4: 3⁴=81, а чётная степень отрицательного основания положительна.
3. x=3: (−4)³=−64.
4. x=4: 2⁴=16 и показатель чётный, так что знак положителен.
5. Нет. Модуль 81=3⁴ требует x=4, но (−3)⁴=+81, а не −81.
6. x=0: (−5)⁰=1. При x>0 модуль не меньше 5.
7. Все нечётные x: 1,3,5,…; единственного показателя нет, потому что модуль всегда 1.
8. Решений нет: правая часть −16, левая при модуле 16 требует x=4 и даёт +16. Скобок у −2⁴ нет.
9. x=2: (−6)²=36; знак плюс.
10. x=3: (−10)³=−1000.
11. Нет: целая неотрицательная степень ненулевого основания не обращается в нуль.
12. Нет решений: −2⁰=−1, но (−2)ˣ принимает 1 при x=0 и значения с модулем не меньше 2 при x>0.

Запомните: сначала проверяйте скобки, потом модуль, затем знак. Нельзя объявлять показатель найденным только по модулю, если знак у найденной степени противоположен заданному.