Составление цепочки равных углов в фигуре из нескольких пересечений — самостоятельная работа, 7 класс

Можно ли объявить равными все углы нескольких пересечений?

Нет. При пересечении параллельных прямых секущей образуются две группы углов: внутри каждой группы углы равны, а угол первой группы в сумме с углом второй даёт 180°. Частая ошибка — соединять в цепочку любые углы только потому, что на рисунке много параллельных прямых. В этой работе каждое звено цепочки должно иметь доказанное основание.

Опорная схема и доказательство

Пусть a ∥ b ∥ c, а секущая t пересекает их в точках A, B, C. В каждой точке номера обозначают одно и то же положение относительно горизонтальной прямой и секущей. Углы 1 и 3 вертикальные, следовательно, равны. Углы 2 и 4 тоже вертикальные и равные. Углы с номером 1 в A, B, C — соответствующие, поэтому они равны. Аналогично для остальных номеров.

Цепочка из шести равных углов: ∠A1 = ∠A3 = ∠B1 = ∠B3 = ∠C1 = ∠C3. Вторая цепочка: ∠A2 = ∠A4 = ∠B2 = ∠B4 = ∠C2 = ∠C4. Между цепочками — сумма 180°, а не равенство.

Самостоятельная работа — 14 доказательств и вычислений

1. В схеме дан угол ∠A1 = 62°. Найдите ∠B3 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
2. В схеме дан угол ∠A2 = 62°. Найдите ∠C4 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
3. В схеме дан угол ∠B3 = 47°. Найдите ∠C1 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
4. В схеме дан угол ∠C4 = 47°. Найдите ∠A2 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
5. В схеме дан угол ∠B1 = 76°. Найдите ∠A4 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
6. В схеме дан угол ∠A3 = 101°. Найдите ∠C2 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
7. В схеме дан угол ∠C2 = 151°. Найдите ∠B4 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
8. В схеме дан угол ∠A4 = 25°. Найдите ∠C3 и обоснуйте цепочку равенств или смежность.
9. Для любого пересечения напишите цепочку из шести равных углов, содержащую ∠A1.
10. Предложена цепочка ∠A1 = ∠B1 = ∠C2. Укажите первое неверное равенство и точную поправку.
11. К той же тройке параллельных прямых проведена вторая секущая u под другим наклоном. Можно ли без новых данных считать её верхние левые углы равными ∠A1?
12. По двум пересечениям известно: ∠A2 = 112° и ∠C4 = 112°. Следует ли из этих двух чисел равенство ∠B1=112°?
13. Докажите: если ∠A1 = 58°, то ∠A2 + ∠B3 = 180°. Запишите числовую проверку.
14. Ученик утверждает, что ∠A1 и ∠B2 равны, потому что «оба лежат над прямой». Найдите ошибку в критерии.

Подробные решения и ключ

1. ∠B3 = 62°. Углы занимают соответствующие/вертикальные положения при параллельных прямых: их величины равны.
2. ∠C4 = 62°. Углы занимают соответствующие/вертикальные положения при параллельных прямых: их величины равны.
3. ∠C1 = 47°. Углы занимают соответствующие/вертикальные положения при параллельных прямых: их величины равны.
4. ∠A2 = 47°. Углы занимают соответствующие/вертикальные положения при параллельных прямых: их величины равны.
5. ∠A4 = 104°. 180° − 76° = 104°: выбранные положения принадлежат двум группам смежных углов.
6. ∠C2 = 79°. 180° − 101° = 79°: выбранные положения принадлежат двум группам смежных углов.
7. ∠B4 = 151°. Углы занимают соответствующие/вертикальные положения при параллельных прямых: их величины равны.
8. ∠C3 = 155°. 180° − 25° = 155°: выбранные положения принадлежат двум группам смежных углов.
9. ∠A1 = ∠A3 = ∠B1 = ∠B3 = ∠C1 = ∠C3. Вертикальные пары дают шаги внутри одной вершины, соответствующие углы — переходы A→B→C.
10. Неверен шаг ∠B1 = ∠C2: эти углы смежных типов. Исправление: ∠A1 = ∠B1 = ∠C1; ∠C2 = 180° − ∠C1.
11. Нет. Свойство соответствующих углов работает внутри одной секущей, пересекающей параллельные прямые. Другая секущая может образовать иной угол.
12. Нет. ∠B1 относится к дополнительной группе: ∠A2=112°, поэтому ∠A1=68°, а ∠B1=68°. Равенство ∠C4=112° подтверждает противоположную группу.
13. ∠A2=122°, ∠B3=58°, их сумма 180°. Первый угол смежен A1, второй равен A1 по параллельности и вертикальности.
14. Ошибка: одной принадлежности к верхней полуплоскости недостаточно. Положение относительно секущей различно: A1 и B2 в общем случае дополняют друг друга до 180°, но не равны.

Как проверить собственную цепочку

Прочитайте каждое равенство отдельно. Для двух углов при одной вершине назовите вертикальность. Для углов при разных вершинах убедитесь, что они соответствующие или накрест лежащие и что речь идёт об одной секущей параллельных прямых. Если равенство не объясняется ни одним из этих правил, цепочка оборвана. Из двух рисунков с разными секущими нельзя получить дополнительное равенство, не доказав его.

Особые случаи: при перпендикулярной секущей обе группы состоят из углов по 90°, так что некоторые дополнительные равенства действительно появляются; однако этот частный случай нельзя без доказательства переносить на произвольные пересечения. На схеме с несколькими точками главное — не число нарисованных углов, а свойства прямых и основания для каждого шага.

Почему цепочка не зависит от числа пересечений

Начнём с верхней прямой a и средней b. По свойству соответствующих углов ∠A1 = ∠B1. При пересечении b и секущей t имеем ∠B1 = ∠B3 по вертикальности. Затем перенесём величину от B к C: ∠B3 = ∠C3 как соответствующие углы. Таким образом, ∠A1 = ∠B1 = ∠B3 = ∠C3. Каждая стрелка опирается на конкретное известное правило; само по себе внешнее сходство рисунка доказательством не является. Этим способом можно продолжить равенство и для четвёртой параллельной прямой, если её тоже пересекает та же секущая.

Вспомните также, что равные вертикальные углы образуются при пересечении любых двух прямых, даже если нет параллельности. Соответствующие углы двух пересечений равны только при параллельных прямых. Поэтому доказательство не должно просто перечислять «вертикальные, соответствующие, вертикальные» без проверки, какие пары вершин и какое расположение использованы. На контрольной работе допустимо оформлять короткую цепочку с пояснениями над знаками равенства: «вертикальные», «соответствующие», «вертикальные».

Как распознать невозможный ответ

Представим, что ∠A1 = 62°, а в черновом решении указано ∠C2 = 62°. Если две группы углов дополняют друг друга до развёрнутого, то правильное значение ∠C2 равно 118°. Полученное в черновике совпадение 62° могло бы быть верным при прямых углах по 90°, но при 62° и 118° оно противоречит сумме смежных углов. Заметьте: обнаружить ошибку можно без повторного построения всего чертежа. Достаточно проверить, в какие группы входят оба обозначения.

Другая ловушка — изменённый угол наклона секущей. Если на том же листе провести u и получить при первой прямой 74°, из данных о секущей t с углом 62° не следует равенство этих углов. Нужно условие о взаимном расположении t и u или самостоятельное вычисление для u. Равенства между разными секущими должны подтверждаться отдельно: совпадение того, что обе пересекают одну параллельную пару, недостаточно.

Памятка при проверке

Удобно проверить решение тремя независимыми вопросами: относятся ли оба угла к одной группе положений; названа ли связь их вершин; достаточно ли в условии сведений о параллельности. Затем подставьте тестовое значение, например 35°, вместо известного угла и мысленно вычислите смежный — 145°. При корректной цепочке все номера из первой группы получают 35°, все из второй 145°. Если какое-либо предложенное равенство требует одновременно 35° и 145°, оно неверно при общем расположении прямых.