Сопоставление абсолютной и относительной частоты для случайного выбора жетона: самостоятельная работа, 7 класс

Источник данных: мешок жетонов и две серии наблюдений

В мешке лежат 3 красных, 5 синих и 2 зелёных жетона одинакового размера. Каждый раз ученик случайно вытаскивает один жетон, записывает его цвет и возвращает жетон обратно. Поэтому состав мешка остаётся неизменным, а отдельные испытания сравнимы. Ниже записаны фактические результаты, которые не обязаны точно совпадать с долями жетонов.

Как читать частоты

Абсолютная частота — число появлений цвета в серии, относительная — отношение этого числа к числу всех извлечений в серии. Теоретическая вероятность, напротив, вычисляется по реальному составу мешка. Если мешок содержит 5 синих из 10, вероятность синего равна 50%, даже если в первых 100 испытаниях этот цвет встретился 54 раза. Обратная ошибка — заключить, что наблюдалось 50 синих из 100 только потому, что вероятность равна 50%.

Практикум: 18 вопросов по одной таблице

1. Сколько жетонов всего в мешке, если красных 3, синих 5, зелёных 2?
2. Укажите теоретическую долю красного жетона при одном случайном извлечении.
3. Укажите теоретическую долю синего жетона.
4. Какая теоретическая доля принадлежит зелёным жетонам?
5. В первой серии 100 извлечений с возвращением: красный 26 раз, синий 54, зелёный 20. Проверьте итог.
6. Найдите относительную частоту красного в первой серии.
7. Найдите относительную частоту синего в первой серии.
8. Найдите относительную частоту зелёного в первой серии.
9. На сколько процентных пунктов наблюдаемая доля синего отличается от теоретической?
10. Доказано ли, что мешок устроен неверно, если наблюдаемая частота красного 26%, а теоретическая вероятность 30%?

Дополнение к исходной таблице

Во второй серии всего двадцать извлечений. Для объединения данных двух серий надо складывать число появлений каждого цвета, а не усреднять проценты двух неодинаковых по объёму серий. Например, красный встретился 26+9=35 раз. Полное количество испытаний после объединения 100+20=120.

1. Во второй серии из 20 извлечений красный был 9 раз, синий 5, зелёный 6. Проверьте итог второй серии.
2. Сколько красных жетонов наблюдалось в обеих сериях суммарно?
3. Сколько синих жетонов наблюдалось суммарно?
4. Сколько зелёных жетонов наблюдалось суммарно?
5. Найдите долю красного во всех 120 извлечениях; округлите до десятых процента.
6. Найдите доли синего и зелёного во всех 120 извлечениях; поясните возможную ошибку округления суммарной доли.
7. Почему ответ 3/10 относится к составу мешка, а ответ 35/120 — к результату опыта?
8. Школьник предлагает после второго опыта изменить число синих жетонов в исходном мешке с 5 до 6. Следует ли такое изменение из наблюдений?

Ключ и подробная проверка

1. 10 жетонов.
2. 3/10=30%.
3. 5/10=50%.
4. 2/10=20%; контроль 30+50+20=100%.
5. 26+54+20=100; таблица первой серии полна.
6. 26/100=26%.
7. 54/100=54%.
8. 20/100=20%.
9. 54%−50%=4 процентных пункта.
10. Нет. При случайном отборе частоты могут отличаться от теоретических вероятностей, особенно на конечной серии.
11. 9+5+6=20.
12. 26+9=35 из 120.
13. 54+5=59 из 120.
14. 20+6=26 из 120.
15. 35/120=7/24≈29,2%.
16. 59/120≈49,2%, 26/120≈21,7%. Округлённые суммы 29,2+49,2+21,7=100,1%; точные дроби дают 120/120=100%.
17. 3/10 — доля физических жетонов в мешке, не меняющаяся при возвращении; 35/120 — эмпирическая частота исхода за 120 опытов, зависящая от случайных результатов.
18. Нет. Число жетонов известно из условия: 3, 5 и 2. Выборка не меняет исходную комплектацию мешка.

Исправленная объединённая таблица

При записи процентов с округлением до одной цифры сумма может оказаться 100,1%. Проверяйте исходную сумму абсолютных частот — она должна равняться 120. Наблюдаемая относительная частота и теоретическая вероятность представляют разные характеристики: первая описывает результат опыта, вторая — модель случайного выбора.

Зачем возвращать жетон после каждого извлечения

В нашем эксперименте жетон каждый раз возвращают. Поэтому перед каждым испытанием мешок содержит по-прежнему десять предметов, из которых три красные, пять синие и два зелёные. Если перестать возвращать жетоны, их количество в мешке начнёт уменьшаться, а вероятность следующего цвета станет зависеть от предыдущих результатов. Такая задача требовала бы другой таблицы и другого объяснения. Это не мелкая деталь сюжета, а условие применимости постоянных теоретических вероятностей.

Результаты двух серий допустимо объединять, потому что оба опыта проведены по одному правилу — с возвращением жетона. Однако усреднять проценты первой и второй серии без весов нельзя. Например, красный цвет в первой серии наблюдался 26%, во второй — 45% (9/20). Простое среднее (26%+45%)/2=35,5% создало бы ложное представление, будто обе серии содержали одинаковое число испытаний. Правильная общая доля равна (26+9)/(100+20)=35/120≈29,2%.

Три независимые проверки результата

Первая проверка — по строкам таблицы: каждая серия должна иметь свой полный итог, соответственно 100 и 20. Вторая — по объединённым абсолютным частотам: 35+59+26=120. Третья — по долям: сумма точных дробей (35+59+26)/120 равна единице. Если после округления вы получили 100,1%, не надо скрытно уменьшать один процент на 0,1 пункта ради красивого итога. Достаточно указать, что небольшое отклонение вызвано округлением; в ключе должны оставаться точные дроби.

Отличайте наблюдаемое от предсказанного

До опыта можно было ожидать в ста извлечениях около 30 красных, 50 синих и 20 зелёных результатов. После эксперимента зарегистрированы реальные значения 26, 54 и 20. Совпадение для зелёного цвета и расхождение для двух других не позволяют утверждать, что эксперимент «удачный» или «неудачный». При случайном выборе точное совпадение не обязательно. Ценность записи заключается в том, что в ней чётко отделены исходная модель мешка и измеренные частоты.

Если ученик сравнит мешок с другим мешком, где тоже десять жетонов, но другое соотношение цветов, нужно заново вычислить теоретические вероятности. Нельзя переносить частоты первой сотни извлечений на второй мешок как готовое доказательство его состава. Частота помогает оценивать вероятности, но её необходимо сопровождать указанием числа испытаний и условий случайного отбора.