Проверка вероятностного прогноза по результатам нескольких испытаний: тренажёр для 7 класса

Прогноз и обратная проверка — что значит «ожидалось»

Предположим, что вероятность успешного исхода при каждом независимом испытании равна 0,4. Для 50 испытаний ожидаемое число успехов равно 50×0,4=20. Провели 50 испытаний, получили 18 успехов. Значит ли это, что прогноз неверен? Не обязательно: модель предсказывает вероятность, а не точную последовательность случайных результатов. Эту разницу надо уметь объяснить, прежде чем оценивать качество прогноза.

Разбор одного примера и изменение условия

В серии I расхождение составляет 18−20=−2 успеха, или 36%−40%=−4 процентных пункта. Эти две разницы не следует смешивать. Если вместо 50 попыток провести 100 и получить 43 успеха, отклонение будет уже +3 успешных исхода и +3 пункта. На каждом шаге используйте свой знаменатель: неверно сравнивать 43 наблюдения со старым ожиданием 20.

Тренажёр с обратной проверкой — 18 заданий

1. Если вероятность успеха в модели 40%, сколько успехов ожидается в среднем при 50 независимых испытаниях?
2. При 50 испытаниях получено 18 успехов. Найдите наблюдаемую частоту и разницу с прогнозом.
3. Ученик заявил: «18 вместо 20 доказывает ошибочность модели». Прав ли он?
4. При 100 испытаниях с вероятностью успеха 40% сколько успехов ожидается в среднем?
5. Получено 43 успеха из 100. Оцените отклонение в числе успехов и процентных пунктах.
6. Сравните результаты 18 из 50 и 43 из 100: в какой серии относительная частота ближе к 40%?
7. Для 500 испытаний наблюдалось 207 успехов. Найдите относительную частоту.
8. Сколько ожидалось успехов при 500 испытаниях по той же модели?
9. В какой из трёх серий (50, 100, 500) относительная частота ближе всего к 40%?
10. Верно ли, что среднее ожидаемое число успехов обязано наблюдаться в каждой серии?

Проверка на другой вероятности: честная монета и редкий исход

Для честной монеты вероятность орла предполагается равной 1/2. Для другой модели в задачах ниже вероятность успеха составляет 1/4. Это две новые гипотезы, и они не должны смешиваться с вероятностью 0,4 из основной таблицы. В каждом ответе явно назовите исходную вероятность, число испытаний и количество зафиксированных успехов.

1. При честной монете из 12 бросков орёл выпал 8 раз. На сколько пунктов доля отличается от 50%?
2. При 1000 бросках честной монеты орёл выпал 510 раз. Насколько доля отличается от 50%?
3. Сравните отклонения двух серий монеты: следует ли из первой серии, что монета нечестная?
4. В прогнозе сказано: «После 30 испытаний точно будет 12 успехов при p=0,4». Перепишите корректно.
5. Школьник посчитал процентное отклонение как (43−40)/43. Почему это неверная база при сравнении с прогнозом 40 из 100?
6. Даны 120 испытаний с заявленной вероятностью 25% и 36 успехами. Рассчитайте ожидание и эмпирическую долю, затем сформулируйте осторожный вывод.
7. После серии из 50 опытов с 18 успехами проведены ещё 50 с 22 успехами. Сколько успехов из 100 теперь и совпала ли относительная частота с 40%?
8. Почему нельзя проверять вероятностный прогноз только по одной удачной серии, игнорируя остальные?

Ключ: расчёты и объяснения

1. 50×0,4=20 — ожидаемое число, а не гарантия.
2. 18/50=36%, отклонение −4 процентных пункта и −2 успеха относительно ожидания 20.
3. Нет. Отличие частоты от вероятности на коротком случайном опыте не является доказательством неверности модели.
4. 100×0,4=40.
5. 43−40=3 успеха, наблюдаемая частота 43%, отклонение +3 процентных пункта.
6. 43/100 ближе: расхождение 3 пункта против 4 пунктов у 18/50.
7. 207/500=41,4%.
8. 500×0,4=200 успехов; наблюдалось на 7 больше.
9. Серия 500: отклонение 1,4 пункта (в сериях 50 и 100 оно равно 4 и 3 пунктам).
10. Нет. Математическое ожидание — среднее по многочисленным повторам, а не точный результат отдельного опыта.
11. 8/12=2/3≈66,7%; отличие от 50% примерно 16,7 пункта.
12. 510/1000=51%; отличие 1 пункт.
13. Нет. При 12 бросках заметные отклонения встречаются случайно; одна серия сама по себе не устанавливает несправедливость монеты.
14. «При 30 испытаниях ожидается в среднем 12 успехов; фактическое число может отличаться».
15. 43 — число наблюдавшихся успехов, а базовый прогноз был 40 из 100. Сравнивают 43% и 40%, получая +3 процентных пункта.
16. Ожидание 120×0,25=30; 36/120=30%. Это выше заявленных 25% на 5 пунктов, но одного набора недостаточно для строгого опровержения вероятности.
17. 18+22=40 из 100, то есть 40%. Да, суммарная частота совпала с моделью, хотя в первой половине было 36%, во второй 44%.
18. Выбор только одной удобной серии создаёт искажённую картину. Для оценки прогноза важно рассматривать весь заранее заданный набор опытов и размер выборки.

Критерии осмысленной проверки

Прогноз вида «вероятность успеха равна 40%» можно сравнить с наблюдаемой долей, но нельзя трактовать как обещание ровно сорока успехов в каждой сотне попыток. Чем больше испытаний в независимой одинаково устроенной серии, тем обычно устойчивее относительная частота, хотя отдельные отклонения возможны при любом конечном числе опытов. Без дополнительного статистического метода нельзя устанавливать «истинность» модели только по одному отличию эмпирической частоты от заявленной вероятности.

Для каждого расчёта запишите 3 строки: 1) прогноз N×p, 2) наблюдаемая доля k/N, 3) отклонение k/N − p. Интерпретация: знак плюс означает превышение прогноза, знак минус — недостаток наблюдений относительно прогноза. Это ещё не доказательство неправильности случайной модели.

Обратная проверка на одной и той же таблице

Возьмём 207 успехов из 500 испытаний. Частота равна 207:500=0,414. Если подставить её обратно в выражение «число испытаний × доля», получим 500×0,414=207. Это проверка арифметики, а не доказательство, что истинная вероятность равна 0,414. Прогноз по модели с p=0,4 составляет 200 успехов; наблюдаемая разность равна семи успехам. Если ошибочно разделить 207 на 200, получим относительное изменение количества по отношению к прогнозному числу, но это не та же величина, что разность долей 41,4%−40%=1,4 процентного пункта.

Существенно различать три вопроса. «Сколько успехов ожидалось?» — считаем N×p. «Сколько произошло?» — читаем экспериментальный счётчик k. «Насколько разошлись доли?» — вычисляем k/N−p. Для ряда со 100 испытаниями ответы соответственно 40, 43 и +3 процентных пункта. Если случайно поменять местами исходную модель и результат, можно получить положительное число, но неверную интерпретацию отклонения.

Размер серии меняет смысл совпадения

Если после четырёх испытаний успех случился два раза, наблюдаемая доля равна 50%. Но такая малая серия не позволяет уверенно различить модель с вероятностью 40% и модель с вероятностью 50%. В сравнении с ней сотни испытаний дают гораздо больше информации, хотя тоже не обещают совпадения процента до последней цифры. В базовой таблице приведены три разные серии: 50, 100 и 500 испытаний. Последняя оказалась ближе к 40% по доле, но из этого не вытекает правило, будто большая серия каждый раз будет ближе любой меньшей.

При честной монете серия из двенадцати бросков с восемью орлами вполне возможна. Чтобы назвать монету нечестной, понадобилась бы отдельная статистическая процедура и достаточное число наблюдений. Здесь цель проще: не путать теоретические вероятности, наблюдаемые доли и точные обещания о результатах. Прогноз можно сопоставить с наблюдениями, но нельзя превращать ожидаемое значение в предписание.

Как составить собственный проверяемый прогноз

Сначала запишите правило случайного механизма и какое событие считать успехом. Затем определите предположенную вероятность p и планируемое число испытаний N. До проведения опыта вычислите ожидаемое число успехов N×p и сохраните это число. После опыта подсчитайте k и вычислите k/N. Когда прогноз заранее зафиксирован, сравнение получается честным: нет соблазна выбрать красивую теоретическую вероятность задним числом, просто переписав наблюдаемую частоту.

Для примера с вероятностью 25% и 120 испытаниями ожидается 30 успехов. Если реально получилось 36, отклонение составляет шесть успехов или пять процентных пунктов. Оба утверждения правильны, если явно сказано, какую величину сравнивают. А утверждение «модель ошибочна на шесть процентов» неоднозначно и в таком виде не годится для проверки. В школьном ответе лучше использовать точные слова «шесть успехов» и «пять процентных пунктов».

Ещё одна полезная обратная проверка: при фиксированном числе испытаний N=100 и оценённой доле 40% прогнозируемое число успехов равно 40. Если в эксперименте встретилось 40 успехов, расхождение равно нулю; если 39, расхождение −1 пункт. При этом модель может быть вероятностной в обоих случаях. Так ученики видят, что вопрос «совпали ли частота и прогноз?» имеет точный арифметический ответ, но вопрос «верна ли модель?» требует более осторожного рассуждения.