Определение достаточного условия для равенства алгебраических выражений: математический практикум для 7 класса

Памятка ученику: какое условие действительно достаточно?

Два алгебраических выражения могут совпадать при каждом допустимом значении x (тождественное равенство) либо только при некоторых x. Не следует путать эти два вывода. Чтобы доказать тождество, преобразуйте одно выражение в другое или докажите, что их разность равна нулю во всей области определения. Чтобы доказать равенство при выбранном x, достаточно выполнить верную подстановку с учётом запретов на деление на ноль.

Рабочий лист рассчитан на два самостоятельных варианта по девять заданий. В заданиях требуется не только ответ «да/нет», но и достаточное условие: например, «x=3» обеспечивает совпадение двух линейных выражений; «x≠1» обеспечивает равенство сокращённой дроби с многочленом на общей области определения. Формулировка «при любом x» требует обоснования, а не двух удачных проб.

Вариант А — вычисления и строгие условия

1. Докажите, что 3(x + 2) и 3x + 6 равны при любом x.
2. Равны ли 2(x + 5) и 2x + 5 хотя бы при одном x?
3. Для каких x равны 5x + 1 и 2x + 10? Назовите достаточное условие.
4. Установите равенство x² − 9 и (x − 3)(x + 3) без подстановки чисел.
5. Равны ли (x + 2)² и x² + 4 при x = 0? При x = 2?
6. Сравните 4(x − 2) + 7 и 4x − 1. Что достаточно проверить?
7. Для какого x равны 7x − 3 и x + 15?
8. При каком условии равны (x² − 1)/(x − 1) и x + 1?
9. Школьник проверил x = 2 для x² и 2x и объявил тождество. Исправьте доказательство.

Вариант Б — контрпример и область определения

1. Покажите, что −2(x − 4) и −2x + 8 равны для всех x.
2. Можно ли подобрать x, чтобы 6(x − 1) было равно 6x − 1?
3. Укажите достаточное условие равенства 3x + 2 и 2x + 9.
4. Докажите равенство x² + 2x + 1 и (x + 1)².
5. Сравните 2(x + 3) − x и x + 6.
6. Равны ли (x + 1)(x − 1) и x² + 1 при каком-либо x?
7. Раскройте (x − 5)² и установите достаточное условие равенства x² − 10x + 25.
8. Сравните (x² − 16)/(x − 4) и x + 4. Укажите запрещённое значение.
9. Отвечает ли подстановка x=0 на вопрос о равенстве 2x+8 и 3x+8 при всех x?

Подробный ключ для учителя

Решения варианта А

1. Раскрываем скобки: 3(x+2)=3x+6. Это достаточное условие тождественного равенства: закон распределения работает для любого x.
2. Нет: 2x+10=2x+5 означало бы 10=5. Подстановкой одного значения нельзя исправить различие постоянных.
3. 5x+1=2x+10, значит 3x=9 и x=3. Условие x=3 достаточно; подстановка даёт 16=16.
4. По формуле разности квадратов (x−3)(x+3)=x²−9 при любом x. Доказана тождественность, а не случайное совпадение.
5. При x=0 обе части равны 4, это достаточное условие равенства при данном x. При x=2 получаем 16 и 8: равенство неверно.
6. 4x−8+7=4x−1. Достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: разность выражений равна нулю для любого x.
7. 7x−3=x+15 ⇒ 6x=18 ⇒ x=3. Проверка: 18=18.
8. При x≠1: (x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1. Условие x≠1 существенно: при x=1 первая запись не определена.
9. При x=2 обе части равны 4, но при x=3 получаем 9 и 6. Условие x=2 достаточно для равенства в точке, но не для тождества; равенство также есть при x=0.

Решения варианта Б

1. Распределение множителя −2 меняет оба знака: −2x+8. Верно при любом действительном x.
2. 6x−6=6x−1 ⇒ −6=−1 — противоречие. Нет ни одного подходящего x.
3. x=7; обе стороны тогда равны 23. Уравнение 3x+2=2x+9 имеет только это решение.
4. Квадрат суммы: (x+1)²=x²+2x+1. Поскольку использована верная формула, тождество доказано для всех x.
5. 2x+6−x=x+6. Равенство тождественное.
6. Нет: слева x²−1, справа x²+1; это означало бы −1=1.
7. Формула (a−b)²=a²−2ab+b² даёт x²−10x+25 для каждого x. Никаких специальных значений переменной не нужно.
8. Равны для x≠4; при x=4 деление на ноль недопустимо. Запись x+4 при x=4 существует, но исходная дробь — нет.
9. Нет. При x=0 совпадение действительно, но при x=1 значения 10 и 11 различны. Разность равна −x, поэтому равенство только при x=0.

Правило проверки: один удачный пример не доказывает тождества. Зато одно корректное значение, на котором выражения не равны, достаточно для его опровержения. При дробной записи первым шагом проверьте, что знаменатель не равен нулю.

Для самостоятельной оценки отметьте отдельно умение раскрыть скобки, решить уравнение и указать область определения. Если ошибка возникла только в пункте со знаменателем, начните повторение именно с запрещённых значений, а не с тренировки простых тождеств. После проверки попросите ученика пояснить разницу между «достаточно подставить x=7» и «тождество верно для всех x».

Как оценивать достаточное условие по шагам

Начните с простого сравнения 5x+1 и 2x+10. Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую и получаем x=3. Запись «при x=3 выражения равны» — верная: она утверждает только существование конкретного значения. Запись «выражения равны всегда» — неверная: например, при x=0 значения равны 1 и 10. Тождество требует более сильного основания — преобразования, которое не меняет значение выражения при любом допустимом x.

Далее сравните (x²−1)/(x−1) и x+1. Здесь преобразование правомерно лишь после исключения x=1 из области определения. Даже если формула x+1 при x=1 даёт число 2, оно не является значением исходной дроби. Следовательно, достаточное условие тождества нужно формулировать вместе с ограничением на переменную. В проверочных работах за потерянное исключение балл за обоснование не засчитывается.

Варианты можно использовать отдельно: сначала ученик решает девять пунктов, затем объясняет два выбранных ответа соседу. Требуйте указывать не просто полученное значение переменной, но и смысл результата: одно значение, пустое множество решений или тождество. Эти три ситуации встречаются в обоих вариантах и должны различаться в записи.