Определение достаточного условия для отношений отрезков — тематические карточки для 7 класса

Исследование: одинаковая форма разделения отрезков

Представьте два прямолинейных маршрута. Первый разбит на последовательные части AB и BC, второй — на DE и EF. Длина указывается в сантиметрах. Нас интересует не совпадение отдельных длин, а достаточное условие, при котором отношение первой части ко второй одинаково у обоих маршрутов. Знаменатели BC и EF должны быть строго положительными: длину нулевого отрезка нельзя ставить под черту дроби.

От наблюдения к правилу

В таблице разные длины, но равное отношение. Чтобы понять причину, проверим «крест-накрест»: 6·15=90, 9·10=90. Для четырёх положительных длин a, b, c, d равенство отношений a/b=c/d следует из ad=bc; и при b,d≠0 это равносильные условия. Другой удобный достаточный признак — обе соответствующие длины умножены на одинаковое ненулевое число k: c=ka, d=kb. Тогда c/d=ka/kb=a/b.

Контрпример: похожее ещё не значит пропорциональное

Два маршрута длиной 12 см делятся на части 4+8 и 6+6. Сумма совпадает, но 4/8≠6/6. Следовательно, фраза «у частей одинаковая общая длина» не служит достаточным условием равенства отношений. Ещё одна ловушка: произведение длин внутри каждой пары a·b=c·d не то же самое, что перекрёстное произведение a·d=b·c. Смысл имеет расположение частей в дроби.

Экспериментальные и доказательные задания

1. На двух схемах длины AB=6, BC=9 и DE=10, EF=15 (см). Проверьте, одинаково ли отношение первой части ко второй.
2. Длины 4, 6, 6 и 8 см. Сохранилось ли равенство отношений 4/6 и 6/8?
3. AB=8, BC=12, DE=10, EF=15. Докажите равенство отношений одним вычислением.
4. AB=7, BC=9, DE=14, EF=18. Какой общий множитель связывает пары?
5. AB=6, BC=10, DE=9, EF=15. Укажите условие, которое объясняет равенство.
6. Пусть AB=4 см, BC=0 см. Допустимо ли сравнивать 4/0 с 8/0?
7. AB=5, BC=8, DE=15, EF=24. Докажите пропорцию и назовите коэффициент.
8. Если AB/BC=3/4 и BC=12 см, найдите AB и проверьте достаточное условие.

Проверка правила на новых данных

1. Известно AB/BC=2/5, а DE=6 и EF=15 см. Можно ли заключить, что отношения равны?
2. AB=7, BC=14, DE=8, EF=16 см. Одинаковы ли два отношения?
3. Найдите x>0, если 3/x=6/14.
4. На одной прямой A, B, C идут в указанном порядке; AB=3, BC=5 см. Сравните AB/AC и AB/BC.
5. У двух схем AB=6, BC=9, DE=8, EF=12. Сравните отношения частей и объясните.
6. Два набора длин имеют одинаковую сумму: 4+8=6+6. Достаточно ли этого для равенства отношений?
7. Если AB·BC=DE·EF, достаточно ли этого для AB/BC=DE/EF? Проверьте на 2, 12, 4, 6.
8. AB=5, BC=11, DE=10, EF=22 см. Перечислите два самостоятельных способа доказать пропорцию.

Аргументированные решения

1. 6/9=2/3 и 10/15=2/3. Также 6·15=9·10=90; равенство произведений даёт достаточное условие пропорции при ненулевых знаменателях.
2. Нет: 4·8=32, а 6·6=36. Контрпример показывает, что «обе пары различаются на 2 см» не обеспечивает равенства отношений.
3. 8·15=120 и 12·10=120. При BC=12 и EF=15 (не нули) этого достаточно для 8/12=10/15.
4. Обе длины второй пары вдвое больше соответствующих: 14=2·7 и 18=2·9. Следовательно, 7/9=14/18.
5. Общий положительный коэффициент равен 1,5: 9=6·1,5 и 15=10·1,5. Отношения обеих пар равны 3/5.
6. Нет. Отношение с нулевым знаменателем не определено. Нельзя применять перекрёстное умножение как доказательство равенства двух несуществующих дробей.
7. 15=3·5 и 24=3·8, значит коэффициент 3; 5/8=15/24. Перемножение также даёт 120=120.
8. AB=12·3/4=9 см; 9·4=12·3=36. Знаменатель BC положителен.
9. Да: 2/5=6/15. Достаточно равенства 2·15=5·6. Но AB и BC не обязаны иметь длины 2 и 5 см: указано только их отношение.
10. Да, оба равны 1/2. Хотя AB≠DE, равенство пар длин не требуется для равенства отношений.
11. 3·14=6x, значит x=7. Проверяем: 3/7=6/14; x не ноль.
12. AC=8 см, поэтому AB/AC=3/8, AB/BC=3/5. Это разные отношения: нельзя подменять целый отрезок его оставшейся частью.
13. 6/9=2/3 и 8/12=2/3. При умножении обоих отрезков пары на один коэффициент отношение сохраняется.
14. Нет: 4/8=1/2, а 6/6=1. Равенство общей длины не гарантирует одинакового распределения частей.
15. Нет: 2·12=4·6=24, но 2/12=1/6, а 4/6=2/3. Для пропорции AB/BC=DE/EF нужно другое произведение: AB·EF=BC·DE.
16. Первый: 5/11=10/22 сокращением. Второй: 5·22=11·10=110. Оба работают, так как знаменатели 11 и 22 ненулевые.

Задачи 6, 12, 14 и 15 предназначены не столько для счёта, сколько для контроля условий применения. В шестой дробь вообще не существует; в двенадцатой перепутаны разные знаменатели; в четырнадцатой равна лишь сумма частей; в пятнадцатой перемножены неправильные пары. В остальных случаях объяснение можно строить либо через коэффициент увеличения, либо через перекрёстные произведения.

Собственный вывод ученика: «Чтобы доказать AB/BC=DE/EF, достаточно показать AB·EF=BC·DE при BC≠0 и EF≠0. Одинаковая сумма длин или одинаковая разность длин такого равенства не гарантирует».

Почему проверка умножением работает в обе стороны

Предположим, что сравниваются дроби a/b и c/d, где b и d — ненулевые длины. Если равенство дробей уже известно, умножим обе части на bd: получим ad=bc. И наоборот, если известна только проверка ad=bc, разделим обе части этого равенства на bd: снова получим a/b=c/d. Это рассуждение доказывает не только достаточность перекрёстного равенства, но и его необходимость. Поэтому оно особенно полезно, когда сантиметры выражены большими числами и сокращение на глаз неудобно.

Пример применения к целому отрезку: если первая часть равна 8 см, вторая — 12 см, то отношение частей 2:3, а доля первой части от целого равна 8/(8+12)=2/5. Для другого макета с частями 14 и 21 см отношение также 2:3, а доля первой части 14/35=2/5. Равенство отношений частей эквивалентно равенству долей от целого, когда части положительны. Но равенство долей не фиксирует саму длину изделия: в одном случае она 20 см, в другом 35 см.

При самостоятельной записи выводов сначала назовите, что дано, затем уточните ненулевые знаменатели, после чего укажите проверенное равенство произведений. Простая запись «дроби похожи» не служит доказательством. Если выяснилось, что одно из условий не выполнено, не пытайтесь восстановить ответ формальным сокращением: вернитесь к смыслу длины и допустимости отношения.

Способ по известному отношению и неизвестной длине

Пусть измерены AB=12 см и BC=18 см. Для второй схемы известна только часть DE=20 см. Чтобы отношение осталось тем же, необходимо 12/18=20/EF. После перемножения получаем 12·EF=18·20=360, следовательно EF=30 см. Проверка: 12/18=2/3 и 20/30=2/3. Почему здесь требуется найти именно EF, а не суммарную длину DF? Потому что условие связывает первую часть со второй, а не первую часть с целым. Полная длина второй схемы получится лишь после нахождения EF: 20+30=50 см.

Можно решить эту же задачу через масштаб: DE/AB=20/12=5/3, поэтому EF=BC·5/3=18·5/3=30 см. В обоих подходах получается одна и та же длина. Используйте эти методы как взаимную проверку; если ответы расходятся, значит перепутана нумерация частей или в одном отношении поменяли местами числитель и знаменатель.

Отдельно выясняйте, что означает знак равенства: он относится к двум числам-отношениям, а не утверждает, что каждый отрезок равен своему аналогу. Так, при масштабе 5/3 равенство AB=DE неверно, но равенство AB/BC=DE/EF сохраняется. Это различие является смысловым центром темы.