Проверка обратного утверждения для свойств чётных чисел: самостоятельная работа, 7 класс

Метод: переставьте условие и вывод местами

Обратное утверждение получается из исходного «если P, то Q» заменой на «если Q, то P». Оно не обязано быть истинным. При проверке достаточно либо привести строгое обоснование нового направления, либо предъявить один контрпример, который удовлетворяет новому условию и нарушает его вывод. В заданиях ниже n — натуральное число (если не оговорено «целое»), a и b — целые числа.

Например, фраза «если число кратно четырём, оно чётное» верна: 4k=2·(2k). Обратная «каждое чётное число кратно четырём» неверна: число 2 опровергает её. Напротив, у свойства «если n чётно, то n+2 чётно» верно и обратное, ведь из чётности n+2 следует чётность n. Не считайте обратное утверждение доказанным только потому, что исходное очевидно.

Уровень I — 8 коротких задач

1. Если натуральное n кратно 4, то n чётно. Верно ли обратное?
2. Если n чётно, то n² чётно. Проверьте обратное.
3. Если n чётно, то n+2 чётно. Обратно?
4. Если n делится на 6, то n чётно. Обратно?
5. Если n нечётно, то n² нечётно. Обратно?
6. Если натуральное n кратно 10, то его последняя цифра 0. Обратно?
7. Если n чётно, то 2n делится на 4. Обратно?
8. Если n делится на 8, то делится на 4. Обратно?

Уровень II — проверка делимости и произведений

1. Если n делится на 12, то делится на 6. Обратно?
2. Если n чётно, то n³ чётно. Обратно?
3. Если целые a и b чётны, то a+b чётно. Обратно?
4. Если n кратно 4, то n² кратно 16. Обратно?
5. Если n кратно 3, то 2n кратно 6. Обратно?
6. Если n чётно, то n(n+1) чётно. Обратно?
7. Если n кратно 5, то n² кратно 5. Обратно?
8. Если n кратно 4, то n+4 кратно 4. Обратно?

Уровень III — несколько переменных и сложные признаки

1. Если n кратно 6, то n+6 чётно. Обратно?
2. Если n кратно 8, то n² кратно 64. Обратно?
3. Если a и b чётны, то a+b чётно. Обратное равенство чётности обоих?
4. Если a и b нечётны, то a−b чётно. Обратно?
5. Если n кратно 4, то n+2 чётно. Обратно?
6. Если n нечётно, то n+1 чётно. Обратно?
7. Если целое a чётно, то ab чётно для всякого целого b. Обратно для фиксированного b?
8. Если n кратно 6, то n делится и на 2, и на 3. Верно ли обратное?

Решения: первый уровень

1. Нет: n=2 чётно, но не кратно 4. Одна чётность слабее кратности четырём.
2. Верно. Если n было бы нечётным, его квадрат нечётен: (2k+1)²=4k(k+1)+1. Значит из чётности n² следует чётность n.
3. Да: если n+2 чётно, то n=(n+2)−2 тоже чётно, потому что разность чётных чисел чётна.
4. Нет: n=8 чётно, но на 6 не делится; делимость на 6 требует и делимости на 3.
5. Да: квадрат чётного числа чётен, поэтому при нечётном квадрате n обязательно нечётно.
6. Да, для натуральной десятичной записи: последняя цифра 0 означает n=10k.
7. Да: 2n=4k означает n=2k, то есть чётность. Простой множитель 2 можно сократить в равенстве.
8. Нет: n=12 делится на 4, но не на 8.

Решения: второй уровень

1. Нет: n=6 делится на 6, но не на 12.
2. Да. Куб нечётного числа нечётен, поэтому чётный куб может получиться только из чётного n.
3. Нет: a=3 и b=5 нечётны, но сумма 8 чётна.
4. Да: если n² делится на 16, то n делится на 4. Иначе показатель двойки в разложении n не меньше 2 не получается; можно проверить остатки n по модулю 4.
5. Да: 2n=6k ⇒ n=3k. Обе стороны кратности точно описывают одно и то же условие.
6. Нет: при n=3 произведение 3·4=12 чётно, хотя n нечётно. Для любых двух соседних целых один множитель чётный.
7. Да. Остатки при делении n на 5: 1,2,3,4; квадраты имеют остатки 1,4,4,1, а не 0. Значит кратность n² пяти требует кратности n пяти.
8. Да: из делимости n+4 на 4 следует делимость n=(n+4)−4 на 4.

Решения: третий уровень

1. Нет: n=2 даёт n+6=8 чётно, но число 2 не кратно 6.
2. Да: кратность квадрата 64=2⁶ означает, что n имеет как минимум три множителя 2, то есть кратно 8.
3. Нет: 7+9=16, хотя оба слагаемых нечётные. Чётная сумма означает лишь одинаковую чётность слагаемых.
4. Нет: 8−2=6 чётно, хотя оба числа чётные. Разность чётна при одинаковой чётности чисел.
5. Нет: n=6, n+2=8 чётно, но 6 не кратно 4.
6. Да: если n+1 чётно, то вычитание 1 даёт нечётное n.
7. Нет: при a=3 и b=2 произведение 6 чётно, хотя a нечётно. Чётным может быть второй множитель.
8. Да: при делимости на 2 и на 3 одновременно число кратно 6, так как 2 и 3 взаимно просты.

Как самостоятельно проверить контрпример

Если ответ «нет», выпишите исходное свойство и обратное в двух строках. Затем укажите конкретное n (либо a и b) и отдельно подтвердите, что условие обратного истинно, а его заключение ложно. Например, для обратного к «a,b чётны ⇒ a+b чётна» выберите a=7 и b=9: условие обратного истинно (сумма 16), а требование чётности каждого слагаемого ложно. Одной фразы «это не всегда так» недостаточно.

Для ответов «да» нужен общий аргумент. Условия, содержащие n², удобно анализировать через чётность и остатки при делении; условия с n+2 или n+4 — через вычитание фиксированного слагаемого; кратность 6 — через одновременную кратность 2 и 3. Эти методы доказывают утверждение для всех допустимых чисел, а не для нескольких проверенных примеров. Задания 12, 15 и 18 особенно полезны для обсуждения: квадрат сохраняет информацию о делимости некоторыми простыми числами, но эту связь надо объяснять, а не угадывать.

Критерий оценки: 24 задания, по 1 баллу за верный статус обратного утверждения и ещё по 1 баллу за полноценное доказательство либо контрпример. В первую очередь исправляйте ошибки, где проверялось только несколько чисел вместо общего правила.

Четыре образца полного доказательства обратных утверждений

Образец I — чётность квадрата

Рассмотрим обратное утверждение к «если n чётно, то n² чётно»: «если n² чётно, то n чётно». Удобно доказать его от противного. Допустим, n нечётно. Тогда n=2k+1 для некоторого целого k. Возводим в квадрат: n²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1. Получили нечётное число, что противоречит исходной чётности n². Следовательно, n чётно. Здесь использован общий вид нечётного числа, а не подставлены несколько примеров.

Образец II — почему чётная сумма не делает оба слагаемых чётными

Если a и b чётны, их сумма действительно чётна: 2r+2s=2(r+s). Но обратный вывод был бы более сильным: из одной характеристики суммы он требовал бы две отдельные характеристики слагаемых. Контрпример a=3, b=5 показывает нарушение: a+b=8, но ни одно из чисел не чётно. Можно даже описать все возможности чётной суммы: оба слагаемых чётны или оба нечётны. Случай одинаковой нечётности обратное утверждение опровергает.

Образец III — делимость и остатки

Для проверки правила «если n² делится на 16, то n делится на 4» рассмотрим четыре остатка числа n при делении на 4. Если остаток 1, квадрат имеет остаток 1 при делении на 4; если 2 — квадрат делится на 4, но имеет остаток 4 при делении на 16; если 3 — квадрат нечётен. Только остаток 0 совместим с делимостью n² на 16. Так мы исключили все случаи n, не кратного четырём. Более короткий путь: квадрату нужны как минимум четыре множителя 2, значит у самого n должно быть не меньше двух.

Образец IV — делимость на два взаимно простых числа

Пусть число n одновременно делится на 2 и на 3. Из второго условия следует n=3k. Поскольку n чётно, произведение 3k чётно. Множитель 3 нечётен, значит k чётно: k=2m. Тогда n=3·2m=6m. Это доказывает обратное к высказыванию «всякое число, делящееся на 6, делится на 2 и на 3». Сравните с ошибочной попыткой сделать вывод из одной лишь чётности: число 8 не кратно 6, потому что не делится на 3.

Три вопроса для самоконтроля перед сдачей

1. Если получен ответ «обратное неверно», можете ли вы привести одно конкретное число, удовлетворяющее новому условию, но нарушающее новый вывод?
2. Если получен ответ «обратное верно», разобрали ли вы все возможные натуральные числа, а не только первые три или четыре?
3. Указали ли вы, где в доказательстве используются чётность, делимость или целочисленность? Например, из 2n=6k можно вывести n=3k именно как равенство целых чисел.

В самостоятельной работе полезно сначала пометить каждую пару буквами P и Q. Выпишите на черновике P⇒Q и Q⇒P; отметьте, что проверяется уже второе направление. Такой простой порядок особенно важен в задачах 11, 19, 20 и 23, где при возвращении от свойства суммы или произведения к свойствам отдельных чисел часто возникает неправомерный вывод. После контрпримера обязательно произнесите полную фразу: «Условие обратного истинно, однако заключение ложно, значит утверждение не универсально».

Дополнительная логическая проверка: сила условия

Сравните высказывания «n делится на 12», «n делится на 6» и «n чётно». Первое даёт второе, а второе даёт третье. Обратное направление не работает: n=6 делится на 6, но не на 12; n=2 чётно, но не кратно 6. В математике такое расположение условий называют движением от более сильного к более слабому. Для обратного перехода понадобилась бы дополнительная информация. Например, к чётности n добавьте делимость на 3 — тогда делимость на 6 становится доказанной.

Теперь сравните с задачами об увеличении числа на 2 или на 4. Чётность n и n+2 равносильны, поскольку прибавление чётного слагаемого не меняет остаток при делении на 2. Кратность четырём n и n+4 также равносильны. Здесь одно утверждение не сильнее другого: обратное направление восстанавливается вычитанием того же слагаемого. Наличие обратимости объясняется конкретной арифметической операцией, а не сходством предложений.

В задачах о двух множителях обратные выводы чаще проваливаются. Чётность произведения ab показывает, что хотя бы один множитель чётен, но не уточняет, какой. Иначе обстоит дело с чётностью квадрата n²: один и тот же множитель повторяется дважды, поэтому чётность квадрата определяет чётность n. Сравнение этих двух конструкций полезно для понимания пунктов 2, 10 и 23.