Проверка обратного утверждения для отношений отрезков — математический практикум для 7 класса

Практическая ситуация: две разметки деревянной рейки

В школьной мастерской чертят два макета прямолинейного бортика. На первом отмечены точки A, B, C по порядку, на втором — D, E, F. Каждую рейку делят на две положительные части: AB и BC, DE и EF. При сравнении ученики заявили: «Если отношение частей одинаковое, то и сами рейки одинаковые». Это обратное утверждение к очевидному факту, что при совпадении соответствующих длин совпадают их отношения. Проверим, действительно ли вывод следует из данных.

У макетов А и Б одинаковое отношение 2:3, но общие длины 15 и 25 см. У В и Г совпадает сумма 12 см, однако отношения не совпадают. Поэтому важно различать высказывания «одинаково устроены две части», «одинакова общая длина» и «совпадают обе длины». Все три утверждения проверяются разными измерениями.

Что на самом деле можно обратить?

Если AB/BC=DE/EF и все четыре длины положительны, существует общий коэффициент k=DE/AB=EF/BC. Тогда второй макет получается масштабированием длин частей первого, но величина k заранее не обязана быть равной единице. Кроме того, равенство долей первой части от целого, AB/AC=DE/DF, равносильно равенству отношений AB/BC=DE/EF, когда AC=AB+BC и DF=DE+EF и вторые части ненулевые. Не расширяйте этот вывод на площади и произвольные треугольники.

Задания: проверка прямого и обратного направления

1. По измерениям первого макета AB=6, BC=9, а второго DE=10, EF=15 см. Следует ли из одинакового отношения первых частей ко вторым одинаковая общая длина?
2. Если обе части второго макета в 2 раза длиннее частей первого, равны ли отношения AB/BC и DE/EF? А если отношения равны, обязан ли множитель быть 2?
3. Для первого макета AB=5, BC=15, второго DE=9, EF=27. Найдите отношение и коэффициент масштаба.
4. Дано: AB/BC=DE/EF, причём все длины положительны. Следует ли AB/AC=DE/DF, если B лежит между A,C, а E — между D,F?
5. Дано: AB/AC=DE/DF, все части положительны. Следует ли AB/BC=DE/EF?
6. AB=6, BC=9, DE=10 см. Найдите EF при условии AB/BC=DE/EF.
7. У двух составных отрезков одинаковое отношение частей 3:5 и одинаковая полная длина 24 см. Обязательно ли совпадают длины каждой части?
8. Чертёж I: AB=4, BC=7. Чертёж II: DE=8, EF=14. Докажите равенство отношений первой части к целому.
9. Достаточно ли равенства сумм AB+BC=DE+EF, чтобы были равны отношения AB/BC и DE/EF?
10. Если AB/BC=DE/EF, следует ли, что разности AB−BC и DE−EF равны?
11. Для двух макетов первая часть составляет 40% всей длины. Первый целиком 20 см, второй 35 см. Найдите обе пары частей и проверьте обратный вывод.
12. Из равенства AB/BC=DE/EF=2/3 и AB=14 см, EF=18 см найдите BC и DE.
13. Если AB/BC=DE/EF, означает ли это, что любой треугольник с основанием AC равен треугольнику с основанием DF?
14. Школьник утверждает: «При одинаковом отношении 2:3 оба макета обязаны иметь одинаковую площадь». Объясните ошибку.

Решения, расчёты, контрпримеры

1. Нет. AB/BC=6/9=2/3 и DE/EF=10/15=2/3, но AC=15 см, DF=25 см. Обратное к правилу «равные соответствующие длины ⇒ равные отношения» здесь ложно.
2. Отношения обязательно равны при ненулевых вторых частях: 2AB/2BC=AB/BC. Обратное про множитель именно 2 неверно: он может быть 3 или 1/2.
3. В обоих макетах отношение 1/3. От первого ко второму коэффициент 9/5=1,8; его подтверждает 27/15=1,8. Равные отношения означают общий коэффициент, но не равные длины.
4. Да. Пусть общее отношение AB/BC=DE/EF=r. Тогда AB/AC=AB/(AB+BC)=r/(r+1); аналогично DE/DF=r/(r+1). Обратное также верно при положительных частях.
5. Да. Если AB/AC=DE/DF=t, то BC/AC=1−t и EF/DF=1−t; следовательно AB/BC=DE/EF=t/(1−t). Здесь 0
6. 6/9=10/EF ⇒ 6EF=90 ⇒ EF=15 см. Проверяем обе записи: 2/3=10/15. Так восстановлена одна длина, а не весь рисунок.
7. Да. Первая часть составляет 3/(3+5)=3/8 целого: 24·3/8=9 см; вторая 15 см. Если сумма и доля первой части известны, разбиение определено однозначно.
8. AC=11, DF=22; 4/11=8/22. Одновременно AB/BC=4/7 и DE/EF=8/14=4/7. Масштаб 2 сохраняет обе пары отношений.
9. Нет: 4+8=6+6=12 см, но 4/8=1/2, 6/6=1. Общая длина сама по себе не фиксирует место деления.
10. Нет. Для пар (2,3) и (4,6) отношения одинаковы 2/3, но разности равны −1 и −2 см соответственно.
11. Части 8 и 12 см; 14 и 21 см. Отношения частей 8/12=14/21=2/3. Равные доли первой части гарантируют равное отношение первой части ко второй, но не равные длины целых макетов.
12. BC=14·3/2=21 см; DE=18·2/3=12 см. Проверка: 14/21=12/18=2/3. Пропорция накладывает два равенства, но допускает разную общую длину.
13. Нет. Совпадение отношения двух частей прямой не задаёт высоты, боковых сторон и углов треугольников. Можно построить треугольники разной высоты над одинаково разделённым основанием.
14. Отношение двух отрезков говорит лишь о длинах частей; площадь зависит ещё от второго размера и формы. Даже для подобно увеличенного прямоугольника площадь изменяется в квадрат масштаба: при масштабе 2 — в 4 раза.

Мини-вывод после проверки

По результатам заданий 4 и 5 сформулируйте два равносильных условия для двух последовательно расположенных положительных частей: одинаковое отношение «первая/вторая» и одинаковая доля «первая/целое». Оба условия сохраняются при увеличении всех частей в одно и то же число раз. Однако общая длина и размеры самого предмета от этого не становятся равными. Задачи 1, 2, 9, 10, 13 и 14 демонстрируют именно ошибочные обратные выводы; остальные показывают ситуации, когда обратное утверждение законно после уточнения предпосылок.

Тест на логическую аккуратность: если два макета имеют части (a,b) и (ka,kb), при a,b,k>0, то a/b=ka/kb. Обратное к выводу «масштаб 2 ⇒ равные отношения» означает не масштаб 2, а какой-то общий положительный масштаб.

В реальной работе с чертежом повторите контроль единиц измерения: сравнивать отношение в сантиметрах можно с отношением в миллиметрах, если в каждой дроби числитель и знаменатель приведены к одной единице. Например, 6 см / 9 см равно 60 мм / 90 мм. Но сравнение 6 см / 90 мм без перевода не даёт правильного числового отношения. Ошибка единиц может создать ложный контрпример к совершенно верной пропорции.