Проверка разбиения фигуры для ромба с известными диагоналями: упражнения разной сложности, 8 класс

Неверное решение: «если диагонали ромба равны 12 и 16 см, его площадь 12·16=192 см²»

Здесь забыто деление на 2. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Они разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2. Поэтому S=4·((d₁/2)(d₂/2)/2)=d₁d₂/2. Если d₁=12 см и d₂=16 см, катеты частей равны 6 и 8 см, площадь каждой 24 см², сумма 96 см². Одна диагональ делит ромб на два треугольника по 48 см².

Пять ошибок в готовых решениях — найдите и исправьте

1. Диагонали ромба 10 и 14 см. Ученик записал S=10·14=140 см².
2. Диагонали 18 и 8 см. Ученик решил: «Каждый из четырёх треугольников имеет площадь 18·8/2=72 см²».
3. Диагонали 20 и 12 см. Ученик написал «половины диагоналей — 20 и 12».
4. Диагонали 16 и 10 см; ученик утверждает, что одна диагональ делит ромб на части 30 и 50 см².
5. В ромбе диагонали 14 и 6 см. Ученик выписал 4 треугольника по 21 см² и итог 42 см².

Серия задач — от частей к целому и обратно

1. Диагонали 24 и 10 см. Найдите площадь ромба и каждой из четырёх частей.
2. Площадь ромба 84 см², одна диагональ 14 см. Найдите вторую.
3. Один из четырёх прямоугольных треугольников внутри ромба имеет площадь 15 см². Какова площадь ромба?
4. Диагонали ромба 12 и 16 см. Найдите сторону, используя половины диагоналей.
5. Диагонали увеличили в 3 раза каждая. Во сколько раз изменятся площади ромба и каждого из 4 треугольников?
6. При d₁=8 см и d₂=18 см найдите площадь ромба и площадь одной половины по диагонали.
7. Площадь одного из четырёх внутренних треугольников равна 27 см². Найдите произведение диагоналей.
8. Диагональ 30 см и площадь 225 см². Чему равны вторая диагональ и площадь четверти?
9. Диагонали 9 и 20 см. Сколько составляет сумма площадей трёх из четырёх треугольников?
10. Ромб разделили только одной диагональю. Могут ли два полученных треугольника иметь площади 35 и 45 см²?

Ключ и разбор

Исправление пяти ошибок

1. Пропущено деление на 2: S=10·14/2=70 см².
2. Катеты маленьких треугольников равны 9 и 4 см, поэтому площадь одного 9·4/2=18 см²; всего 4·18=72 см².
3. Половины равны 10 и 6 см; площадь одного из четырёх треугольников 10·6/2=30 см², всего S=120 см².
4. Неверно: одна диагональ делит ромб на две равные по площади части. S=16·10/2=80 см², каждая часть 40 см².
5. Четыре части имеют площадь 7·3/2=10,5 см² каждая. Их сумма 42 см²; итог верен, но расчёт частей и умножение ошибочны.

Решения десяти самостоятельных задач

1. S=24·10/2=120 см²; каждая часть 30 см².
2. d₂=2·84/14=12 см; проверка 14·12/2=84.
3. S=4·15=60 см².
4. Катеты 6 и 8 см, сторона по теореме Пифагора √(6²+8²)=10 см; S=96 см².
5. В 9 раз: каждая площадь содержит произведение двух длин, обе умножены на 3.
6. S=8·18/2=72 см²; две половины по 36 см².
7. Sромба=108 см², значит d₁d₂=2S=216 см².
8. d₂=2·225/30=15 см; четверть имеет площадь 225/4=56,25 см².
9. S=9·20/2=90 см²; одна четверть 22,5 см²; три части 67,5 см².
10. Нет. Диагональ ромба делит его на два равновеликих треугольника, поэтому площади обязательно равны.

Как проверить разбиение без чертежа

Для заданных положительных диагоналей d₁ и d₂ сначала восстановите половины d₁/2 и d₂/2, затем вычислите площадь одного внутреннего прямоугольного треугольника и умножьте на 4. Полученный результат обязан совпасть с d₁d₂/2. Можно также проверить через деление одной диагональю на два треугольника одинаковой площади. Если оба метода дают разные числа, где-то допущена арифметическая ошибка или перепутаны половины диагоналей.

Условие «ромб» здесь принципиально: у произвольного четырёхугольника диагонали не обязаны делиться пополам или быть перпендикулярными. Пользоваться площадью d₁d₂/2 без дополнительных предпосылок для любой фигуры нельзя. При этом перпендикулярные диагонали могут встретиться и в других четырёхугольниках — для разбивки важно знать геометрию конкретной фигуры.

Для проверки задач 6–15 удобно вести две колонки: «формула целого» и «сумма площадей частей». В задаче с произведением диагоналей 216 см² это именно произведение двух длин, а не площадь самого ромба, которая вдвое меньше. Учитывайте единицы измерения: d₁d₂ имеет размерность см², поэтому в ответе к задаче на произведение сохраняются квадратные сантиметры.