Составление квадратного уравнения при изменении размеров упаковки: задачи с решениями для 8 класса

Таблица изменений: как размеры лицевой стороны упаковки превращаются в уравнение

У прямоугольной лицевой стороны коробки есть длина a и ширина b в сантиметрах. Дизайнер увеличивает обе стороны на одинаковое расстояние x см, причём x≥0. Новая площадь должна стать S см². Условие выражается не линейным, а квадратным уравнением (a+x)(b+x)=S. После раскрытия скобок получается x²+(a+b)x+ab−S=0. Это модель площади одной прямоугольной стороны упаковки, а не объёма всей коробки.

Пример: лицевая сторона 8×5 см должна иметь площадь 88 см². Запишем (8+x)(5+x)=88, то есть x²+13x−48=0=(x−3)(x+16). Алгебраические корни 3 и −16. Второе значение не описывает увеличение и превращает размеры в отрицательные числа. Проверка: 11·8=88 см². Следовательно, увеличить каждую сторону нужно на 3 см.

Практическая таблица для расчёта

Перед решением проверьте значения в таблице: например, новая площадь обязательно больше исходной, потому что увеличивают обе положительные стороны. Вычисления начинайте с уравнения, затем сводите его к стандартному виду. Не угадывайте только ответ по площади: задача проверяет составление модели и корректное исключение постороннего для ситуации корня.

Шестнадцать заданий по таблице

1. Упаковка №1: исходная прямоугольная сторона 8×5 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 88 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
2. Упаковка №2: исходная прямоугольная сторона 12×7 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 176 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
3. Упаковка №3: исходная прямоугольная сторона 9×4 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 150 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
4. Упаковка №4: исходная прямоугольная сторона 14×9 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 176 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
5. Упаковка №5: исходная прямоугольная сторона 11×6 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 176 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
6. Упаковка №6: исходная прямоугольная сторона 16×7 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 190 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
7. Упаковка №7: исходная прямоугольная сторона 7×3 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 77 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
8. Упаковка №8: исходная прямоугольная сторона 13×10 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 270 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.

Второй блок: необычные соотношения размеров

1. Упаковка №9: исходная прямоугольная сторона 15×8 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 228 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
2. Упаковка №10: исходная прямоугольная сторона 6×4 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 143 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
3. Упаковка №11: исходная прямоугольная сторона 10×9 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 156 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
4. Упаковка №12: исходная прямоугольная сторона 17×12 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 266 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
5. Упаковка №13: исходная прямоугольная сторона 19×5 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 207 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
6. Упаковка №14: исходная прямоугольная сторона 8×7 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 182 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
7. Упаковка №15: исходная прямоугольная сторона 14×5 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 286 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.
8. Упаковка №16: исходная прямоугольная сторона 20×9 см. Увеличили обе стороны на одну величину x и получили площадь 276 см². Составьте квадратное уравнение и найдите x; укажите новые размеры и проверьте площадь.

Где возникает противоречие

1. Ученик в первой строке записал 8·5+x²=88. Объясните, какие слагаемые потерялись при раскрытии скобок.
2. Для строки №2 предложили x=−23 см, потому что это корень уравнения. Почему такой ответ не подходит условию увеличения?
3. Ученик нашёл для строки №3 значение x=6, но ответил «площадь 6 см²». Исправьте единицы и сформулируйте смысл x.

При раскрытии скобок всегда появляются два смешанных произведения ax и bx; без них модель не описывает изменение двух сторон. Алгебраические корни нельзя использовать без проверки допустимых размеров. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, увеличение длины — в сантиметрах. Для самостоятельной проверки можно подставить найденный x в исходное, ещё не преобразованное уравнение.

Ключ ответов с обратной проверкой

1. (x+8)(x+5)=88 ⇒ x²+13x-48=0. Корни 3 и -16; допустим x=3 см. Новые размеры 11×8 см, их произведение 88 см².
2. (x+12)(x+7)=176 ⇒ x²+19x-92=0. Корни 4 и -23; допустим x=4 см. Новые размеры 16×11 см, их произведение 176 см².
3. (x+9)(x+4)=150 ⇒ x²+13x-114=0. Корни 6 и -19; допустим x=6 см. Новые размеры 15×10 см, их произведение 150 см².
4. (x+14)(x+9)=176 ⇒ x²+23x-50=0. Корни 2 и -25; допустим x=2 см. Новые размеры 16×11 см, их произведение 176 см².
5. (x+11)(x+6)=176 ⇒ x²+17x-110=0. Корни 5 и -22; допустим x=5 см. Новые размеры 16×11 см, их произведение 176 см².
6. (x+16)(x+7)=190 ⇒ x²+23x-78=0. Корни 3 и -26; допустим x=3 см. Новые размеры 19×10 см, их произведение 190 см².
7. (x+7)(x+3)=77 ⇒ x²+10x-56=0. Корни 4 и -14; допустим x=4 см. Новые размеры 11×7 см, их произведение 77 см².
8. (x+13)(x+10)=270 ⇒ x²+23x-140=0. Корни 5 и -28; допустим x=5 см. Новые размеры 18×15 см, их произведение 270 см².
9. (x+15)(x+8)=228 ⇒ x²+23x-108=0. Корни 4 и -27; допустим x=4 см. Новые размеры 19×12 см, их произведение 228 см².
10. (x+6)(x+4)=143 ⇒ x²+10x-119=0. Корни 7 и -17; допустим x=7 см. Новые размеры 13×11 см, их произведение 143 см².
11. (x+10)(x+9)=156 ⇒ x²+19x-66=0. Корни 3 и -22; допустим x=3 см. Новые размеры 13×12 см, их произведение 156 см².
12. (x+17)(x+12)=266 ⇒ x²+29x-62=0. Корни 2 и -31; допустим x=2 см. Новые размеры 19×14 см, их произведение 266 см².
13. (x+19)(x+5)=207 ⇒ x²+24x-112=0. Корни 4 и -28; допустим x=4 см. Новые размеры 23×9 см, их произведение 207 см².
14. (x+8)(x+7)=182 ⇒ x²+15x-126=0. Корни 6 и -21; допустим x=6 см. Новые размеры 14×13 см, их произведение 182 см².
15. (x+14)(x+5)=286 ⇒ x²+19x-216=0. Корни 8 и -27; допустим x=8 см. Новые размеры 22×13 см, их произведение 286 см².
16. (x+20)(x+9)=276 ⇒ x²+29x-96=0. Корни 3 и -32; допустим x=3 см. Новые размеры 23×12 см, их произведение 276 см².

Разбор трёх противоречий

1. (8+x)(5+x)=40+13x+x², а не 40+x². Пропущено 8x+5x.
2. В строке №2 отрицательный корень равен −(12+7+4)=−23; увеличение x должно быть неотрицательным, а размеры 12−23 и 7−23 недопустимы.
3. x=6 см — прибавка к каждой стороне; искомая площадь строки №3 равна (9+6)(4+6)=150 см². Нельзя подменять величину длины величиной площади.

Общая проверка единственности: при x≥0 произведение (a+x)(b+x) строго растёт, если a>0 и b>0. Поэтому при заданной площади больше ab физически подходящее увеличение только одно. Если вышел второй положительный корень, проверьте раскрытие скобок и арифметику дискриминанта.