Проверка физической допустимости корня для площади прямоугольного участка: рабочий лист для 8 класса

Земельный участок: когда математический корень не является длиной

Пусть ширина участка x метров, а длина на d метров больше, чем ширина. Тогда x>0, d>0, площадь S=x(x+d). Уравнение x²+dx−S=0 имеет два действительных корня, но только один положителен. Отрицательное число может быть корнем уравнения и одновременно недопустимым ответом задачи о длине. Проверяют не знак по привычке, а исходный смысл переменной и размеры обеих сторон.

Разобранный случай. Ширина x м, длина x+5 м, площадь 104 м². Имеем x(x+5)=104, то есть (x−8)(x+13)=0. Из x=8 или x=−13 выбираем x=8: длина 13 м, площадь 8·13=104 м². Число −13 тоже удовлетворяет полученному многочлену, но не может обозначать ширину земли.

Как провести обратную проверку

1. Перепишите первоначальное уравнение до раскрытия скобок.
2. Подставьте оба найденных корня отдельно и убедитесь, что алгебраическое равенство выполняется.
3. Проверьте область допустимых значений: x>0 и x+d>0; геометрические размеры не бывают отрицательными.
4. Умножьте реальные длину и ширину, сопоставьте с заданной площадью, запишите единицы м и м².

Лист для самостоятельной тренировки

1. Участок №1: длина на 5 м больше ширины, площадь 104 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
2. Участок №2: длина на 7 м больше ширины, площадь 198 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
3. Участок №3: длина на 9 м больше ширины, площадь 90 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
4. Участок №4: длина на 4 м больше ширины, площадь 192 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
5. Участок №5: длина на 12 м больше ширины, площадь 189 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
6. Участок №6: длина на 3 м больше ширины, площадь 270 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
7. Участок №7: длина на 14 м больше ширины, площадь 147 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
8. Участок №8: длина на 8 м больше ширины, площадь 384 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.

Повторная проверка — восемь новых участков

Вторую половину решите, прежде чем открывать ключ. На каждом этапе ясно указывайте, где используется алгебраическое равенство, а где — физический смысл размеров.

1. Участок №9: длина на 6 м больше ширины, площадь 160 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
2. Участок №10: длина на 11 м больше ширины, площадь 312 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
3. Участок №11: длина на 5 м больше ширины, площадь 414 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
4. Участок №12: длина на 9 м больше ширины, площадь 322 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
5. Участок №13: длина на 7 м больше ширины, площадь 540 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
6. Участок №14: длина на 10 м больше ширины, площадь 459 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
7. Участок №15: длина на 4 м больше ширины, площадь 525 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.
8. Участок №16: длина на 6 м больше ширины, площадь 667 м². Обозначьте ширину x, составьте уравнение, найдите все алгебраические корни и объясните, какой следует отвергнуть. Найдите обе стороны.

Контроль особого случая: переменная не обязательно равна самой стороне

Если размеры равны (x+5) м и (x+3) м, условие положительности требует x>−3, а не обязательно x>0. Например, (x+5)(x+3)=15 даёт x=0 или x=−8; допустимо только 0. Из этого примера нельзя делать общее правило «любой отрицательный параметр надо отбросить»: сначала выясняйте, обозначает ли он длину или лишь прибавку к длине.

Ключ для учителя: уравнения, оба корня и проверка

1. x(x+5)=104, или x²+5x−104=0; корни 8 и -13. Допустима ширина 8 м, длина 13 м; проверка 8·13=104 м². -13 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
2. x(x+7)=198, или x²+7x−198=0; корни 11 и -18. Допустима ширина 11 м, длина 18 м; проверка 11·18=198 м². -18 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
3. x(x+9)=90, или x²+9x−90=0; корни 6 и -15. Допустима ширина 6 м, длина 15 м; проверка 6·15=90 м². -15 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
4. x(x+4)=192, или x²+4x−192=0; корни 12 и -16. Допустима ширина 12 м, длина 16 м; проверка 12·16=192 м². -16 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
5. x(x+12)=189, или x²+12x−189=0; корни 9 и -21. Допустима ширина 9 м, длина 21 м; проверка 9·21=189 м². -21 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
6. x(x+3)=270, или x²+3x−270=0; корни 15 и -18. Допустима ширина 15 м, длина 18 м; проверка 15·18=270 м². -18 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
7. x(x+14)=147, или x²+14x−147=0; корни 7 и -21. Допустима ширина 7 м, длина 21 м; проверка 7·21=147 м². -21 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
8. x(x+8)=384, или x²+8x−384=0; корни 16 и -24. Допустима ширина 16 м, длина 24 м; проверка 16·24=384 м². -24 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
9. x(x+6)=160, или x²+6x−160=0; корни 10 и -16. Допустима ширина 10 м, длина 16 м; проверка 10·16=160 м². -16 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
10. x(x+11)=312, или x²+11x−312=0; корни 13 и -24. Допустима ширина 13 м, длина 24 м; проверка 13·24=312 м². -24 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
11. x(x+5)=414, или x²+5x−414=0; корни 18 и -23. Допустима ширина 18 м, длина 23 м; проверка 18·23=414 м². -23 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
12. x(x+9)=322, или x²+9x−322=0; корни 14 и -23. Допустима ширина 14 м, длина 23 м; проверка 14·23=322 м². -23 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
13. x(x+7)=540, или x²+7x−540=0; корни 20 и -27. Допустима ширина 20 м, длина 27 м; проверка 20·27=540 м². -27 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
14. x(x+10)=459, или x²+10x−459=0; корни 17 и -27. Допустима ширина 17 м, длина 27 м; проверка 17·27=459 м². -27 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
15. x(x+4)=525, или x²+4x−525=0; корни 21 и -25. Допустима ширина 21 м, длина 25 м; проверка 21·25=525 м². -25 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.
16. x(x+6)=667, или x²+6x−667=0; корни 23 и -29. Допустима ширина 23 м, длина 29 м; проверка 23·29=667 м². -29 отвергается, поскольку ширина должна быть положительной.

Пять частых ошибок и способ их обнаружить

1. Сложили стороны вместо перемножения: площадь прямоугольника равна произведению сторон, а не их сумме.
2. Решили квадратное уравнение правильно, но оставили оба корня в ответе задачи. Нужна проверка положительности длины.
3. Приняли число d за длину участка. На самом деле d — разность длины и ширины, а длина равна x+d.
4. Подставили отрицательный корень только в преобразованное уравнение. Такая проверка подтверждает лишь алгебру; геометрическая проверка отдельно обязательна.
5. Ответили «8 м²» на вопрос о ширине. Размерность ширины — метр, размерность площади — квадратный метр.

Результат можно контролировать без вычислителя: для положительной ширины x и превышения d должно быть S>x². Если предложенное решение нарушает это неравенство, в тексте или в вычислениях есть ошибка. Дополнительная практическая проверка — оценить, соответствует ли найденная длина указанному превышению d.