Проверка физической допустимости корня при изменении размеров упаковки — самостоятельная работа, 8 класс

Три контрольных вопроса — без предварительной подсказки

1. Лицевая сторона упаковки 7×4 см. Обе стороны увеличили на x и получили площадь 70 см². Можно ли принять x=−15, если это корень уравнения?
2. Основание упаковки 12×9 см. Уменьшили каждую сторону на x, площадь стала 40 см². Почему x=17 — неверная прибавка, хотя это корень?
3. Если из длины упаковки 11 см вычли x см, какое ограничение обязательно, чтобы новая длина была положительной?

При проверке корней у упаковки смотрят одновременно на математическое равенство и положительность каждого размера. Если x — величина уменьшения, должно выполняться 0≤x<min(a,b). Если x — увеличение, x≥0. Отрицательные размеры могут давать положительное произведение, однако такое алгебраическое решение не описывает реальную упаковку.

Задания 4–11: быстро найдите допустимое изменение

1. №4. Основание коробки 15×9 см; обе стороны уменьшили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 72 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
2. №5. Основание коробки 9×6 см; обе стороны увеличили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 130 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
3. №6. Основание коробки 18×11 см; обе стороны уменьшили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 78 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
4. №7. Основание коробки 13×8 см; обе стороны увеличили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 150 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
5. №8. Основание коробки 17×10 см; обе стороны уменьшили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 44 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
6. №9. Основание коробки 12×5 см; обе стороны увеличили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 120 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
7. №10. Основание коробки 20×14 см; обе стороны уменьшили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 160 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.
8. №11. Основание коробки 8×7 см; обе стороны увеличили на одинаковое значение x. После изменения площадь равна 156 см². Запишите уравнение, два корня и физический ответ; укажите новые размеры.

Ответы и объяснения к диагностике

1. Нет. (7+x)(4+x)=70 имеет корни 3 и −14, а не −15. Поскольку упаковку увеличивают, допустим x=3 см: 10·7=70 см².
2. Уравнение (12−x)(9−x)=40 ⇒ x²−21x+68=(x−4)(x−17)=0. Значение 17 оставляет отрицательные стороны (−5 и −8) см. Допустимо x=4 см, новые размеры 8×5 см.
3. 11−x>0, то есть x<11; при уменьшении x также x≥0, если иное не оговорено.

Быстрый ключ к заданиям 4–11

1. (15−x)(9−x)=72; корни 3 и 21. Ограничение 0≤x<9, поэтому x=3 см; итоговые размеры 12×6 см, площадь 72 см².
2. (9+x)(6+x)=130; корни 4 и -19. Ограничение x≥0, поэтому x=4 см; итоговые размеры 13×10 см, площадь 130 см².
3. (18−x)(11−x)=78; корни 5 и 24. Ограничение 0≤x<11, поэтому x=5 см; итоговые размеры 13×6 см, площадь 78 см².
4. (13+x)(8+x)=150; корни 2 и -23. Ограничение x≥0, поэтому x=2 см; итоговые размеры 15×10 см, площадь 150 см².
5. (17−x)(10−x)=44; корни 6 и 21. Ограничение 0≤x<10, поэтому x=6 см; итоговые размеры 11×4 см, площадь 44 см².
6. (12+x)(5+x)=120; корни 3 и -20. Ограничение x≥0, поэтому x=3 см; итоговые размеры 15×8 см, площадь 120 см².
7. (20−x)(14−x)=160; корни 4 и 30. Ограничение 0≤x<14, поэтому x=4 см; итоговые размеры 16×10 см, площадь 160 см².
8. (8+x)(7+x)=156; корни 5 и -20. Ограничение x≥0, поэтому x=5 см; итоговые размеры 13×12 см, площадь 156 см².

Если после удаления лишнего корня осталась не та площадь, прежде всего вернитесь к условию и проверьте знак перед x: при уменьшении используется a−x, при увеличении — a+x. Признак реальности модели — положительность каждой стороны, а не только положительность произведения. Выбранное значение в сантиметрах нельзя смешивать с вычисленной площадью в квадратных сантиметрах.