Проверка физической допустимости корня для распределения общего количества: математический практикум для 8 класса

Задача-наблюдение: число коробок и количество предметов в каждой

На школьной ярмарке общий набор одинаковых сувениров нужно разложить в n коробок. В каждой коробке должно быть на 3 сувенира больше, чем самих коробок, то есть n+3 предмета. Всего 70 сувениров. Составим n(n+3)=70 и решим n²+3n−70=0=(n−7)(n+10). Получаем n=7 и n=−10. Второй корень удовлетворяет уравнению, но не может обозначать число физических коробок. Проверка: 7 коробок по 10 сувениров дают 70.

На этом примере можно сформулировать правило: когда n — число коробок, рядов, команд или одинаковых наборов, необходимо n∈ℕ, а число предметов в одном наборе также должно быть положительным целым. Площадь или длина допускают дробные значения в метрах, но количество неделимых предметов обычно не может быть 7,5. Поэтому «корень положительный» — лишь часть проверки допустимости.

Контрпример к ложному правилу «всегда достаточно выбрать положительный корень»

Для распределения 20 сувениров по n коробкам с n+2 предметами в каждой уравнение n(n+2)=20 имеет положительный корень −1+√21≈3,58. Но 3,58 коробки не существует. Данные такого плана несовместимы с требованием целого числа коробок. Отвечать «4 коробки» после округления тоже нельзя: 4·6=24, а не 20. Условия целочисленности и проверка общей суммы запрещают произвольное округление.

Самостоятельные исследования: распределите заданное количество

1. 1. В школьной мастерской 70 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 3 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
2. 2. В школьной мастерской 117 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 4 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
3. 3. В школьной мастерской 204 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 5 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
4. 4. В школьной мастерской 120 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 7 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
5. 5. В школьной мастерской 187 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 6 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
6. 6. В школьной мастерской 195 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 2 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.

Применение на новых данных — усложнённая серия

1. 7. В школьной мастерской 345 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 8 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
2. 8. В школьной мастерской 190 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 9 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
3. 9. В школьной мастерской 304 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 3 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
4. 10. В школьной мастерской 294 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 7 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
5. 11. В школьной мастерской 357 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 4 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
6. 12. В школьной мастерской 414 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 5 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.
7. 13. В школьной мастерской 520 одинаковых деталей надо распределить по n контейнерам, поровну. В каждом контейнере должно оказаться на 6 деталей больше, чем число контейнеров. Составьте квадратное уравнение, найдите его корни и выберите допустимое распределение.

Обоснование выбора корня и решения

1. n(n+3)=70; n²+3n−70=0; корни 7 и -10. При n=7 получим 10 деталей в каждом; проверка 7·10=70. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
2. n(n+4)=117; n²+4n−117=0; корни 9 и -13. При n=9 получим 13 деталей в каждом; проверка 9·13=117. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
3. n(n+5)=204; n²+5n−204=0; корни 12 и -17. При n=12 получим 17 деталей в каждом; проверка 12·17=204. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
4. n(n+7)=120; n²+7n−120=0; корни 8 и -15. При n=8 получим 15 деталей в каждом; проверка 8·15=120. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
5. n(n+6)=187; n²+6n−187=0; корни 11 и -17. При n=11 получим 17 деталей в каждом; проверка 11·17=187. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
6. n(n+2)=195; n²+2n−195=0; корни 13 и -15. При n=13 получим 15 деталей в каждом; проверка 13·15=195. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
7. n(n+8)=345; n²+8n−345=0; корни 15 и -23. При n=15 получим 23 деталей в каждом; проверка 15·23=345. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
8. n(n+9)=190; n²+9n−190=0; корни 10 и -19. При n=10 получим 19 деталей в каждом; проверка 10·19=190. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
9. n(n+3)=304; n²+3n−304=0; корни 16 и -19. При n=16 получим 19 деталей в каждом; проверка 16·19=304. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
10. n(n+7)=294; n²+7n−294=0; корни 14 и -21. При n=14 получим 21 деталей в каждом; проверка 14·21=294. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
11. n(n+4)=357; n²+4n−357=0; корни 17 и -21. При n=17 получим 21 деталей в каждом; проверка 17·21=357. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
12. n(n+5)=414; n²+5n−414=0; корни 18 и -23. При n=18 получим 23 деталей в каждом; проверка 18·23=414. Второй корень не может обозначать число контейнеров.
13. n(n+6)=520; n²+6n−520=0; корни 20 и -26. При n=20 получим 26 деталей в каждом; проверка 20·26=520. Второй корень не может обозначать число контейнеров.

Четыре дополнительных вопроса для обсуждения

1. Почему округление 3,58 до четырёх контейнеров в контрпримере не сохраняет количество предметов?
2. Если два корня квадратного уравнения равны 7 и −10, какой из них нельзя использовать как количество контейнеров? Почему?
3. Если бы количество сувениров увеличили с 70 до 80 при той же разнице 3, можно ли просто добавить одну коробку?
4. Чем отличается «нет допустимого распределения» от «квадратное уравнение не имеет действительных корней»?

Ответы к дополнительным вопросам

1. Для 4 коробок по 6 сувениров нужно 24, а не 20; изменение числа коробок меняет и наполнение каждой.
2. Отвергается −10: число физических контейнеров должно быть положительным целым, несмотря на верное алгебраическое равенство.
3. Нет: 8·11=88, а не 80. Нужно заново составлять модель n(n+3)=80 и проверять целочисленность результата.
4. Уравнение может иметь действительные корни, но не иметь корня, удовлетворяющего смыслу задачи (целому положительному количеству). Это разные причины отсутствия решения в контексте.

Для преподавателя: если ученик вычисляет общий итог по сложению n+(n+3) вместо умножения n·(n+3), попросите нарисовать таблицу с n строками и n+3 предметами в каждой. Модель должна изображать именно распределение общего количества, а не сумму двух чисел. Полезно требовать ответ в трёх частях: число контейнеров, количество в каждом и обратная проверка общего числа.