Восстановление неизвестного параметра при изменении размеров упаковки — рабочий лист для 8 класса

Неверный тезис: «если увеличили размеры на x, достаточно прибавить x² к площади»

Лицевая прямоугольная сторона коробки имела длину 10 см и ширину 7 см. По техническому заданию длину увеличивают на 2x см, ширину — на x см. После изменения площадь должна составить 180 см². Нельзя записывать 70+2x²=180: увеличение содержит не только новый угол 2x·x, но и две прямоугольные полосы вдоль исходных сторон. Правильная модель: (10+2x)(7+x)=180.

Раскрываем скобки: 2x²+24x+70=180, или x²+12x−55=0. Алгебраические корни x=−6±√91: положительный корень −6+√91≈3,54 см, отрицательный −6−√91 не означает увеличение. Обратная проверка производится по исходному произведению без преждевременного округления: (10+2x)(7+x)=180 см². Параметр x измеряется в сантиметрах, площадь — в см².

Почему модель и отбор корня работают

Если исходные стороны a и b положительны, а новая длина a+2x и ширина b+x, то S=(a+2x)(b+x). Уравнение 2x²+(a+2b)x+ab−S=0. При x≥0 обе стороны положительны и площадь строго растёт по x; поэтому S>ab даёт ровно один неотрицательный параметр. Второй математический корень отрицателен: сумма корней равна −(a+2b)/2. Если найденные два корня оказались положительными, в вычислениях допущена ошибка.

Самостоятельная серия: найдите параметр, а не только размер

1. № 1. Длина упаковки 8 см, ширина 5 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 84 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
2. № 2. Длина упаковки 12 см, ширина 9 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 216 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
3. № 3. Длина упаковки 14 см, ширина 4 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 216 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
4. № 4. Длина упаковки 10 см, ширина 11 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 270 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
5. № 5. Длина упаковки 16 см, ширина 7 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 180 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
6. № 6. Длина упаковки 6 см, ширина 13 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 342 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.

Проверка особых случаев: разное изменение сторон

При втором наборе сначала сделайте устную прикидку: площадь должна быть больше первоначального произведения a·b. Затем сравните два найденных корня с ограничением x≥0. Неверный отрицательный корень нельзя «исправлять», беря модуль: это изменило бы размеры.

7. № 7. Длина упаковки 18 см, ширина 5 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 192 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
8. № 8. Длина упаковки 20 см, ширина 8 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 336 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
9. № 9. Длина упаковки 22 см, ширина 9 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 286 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
10. № 10. Длина упаковки 14 см, ширина 12 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 408 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
11. № 11. Длина упаковки 8 см, ширина 15 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 484 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
12. № 12. Длина упаковки 24 см, ширина 6 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 270 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.
13. № 13. Длина упаковки 12 см, ширина 17 см; после изменения длина увеличилась на 2x, ширина на x. Новая площадь 420 см². Составьте квадратное уравнение, найдите x и объясните, какой корень недопустим.

Проверьте сомнительные решения

1. Ученик для задания №1 записал (8+x)(5+2x). Это тот же ответ, что и (8+2x)(5+x)? Докажите вычислением.
2. Ученик утверждает, что раз второе решение уравнения отрицательно, дискриминант вычислен неправильно. Найдите контрпример в таблице.
3. Если исходная площадь 80 см², может ли после увеличения обеих сторон при x>0 площадь оказаться 80 см²?

Ответы с вычислениями и обратной проверкой

1. 1. ( 8+2x )(5+x)=84 ⇒ 2x²+18x-44=0. Корни 2 и -11; при увеличении x≥0, поэтому x=2 см. Новые стороны 12 и 7 см, проверка: 12·7=84 см².
2. 2. ( 12+2x )(9+x)=216 ⇒ 2x²+30x-108=0. Корни 3 и -18; при увеличении x≥0, поэтому x=3 см. Новые стороны 18 и 12 см, проверка: 18·12=216 см².
3. 3. ( 14+2x )(4+x)=216 ⇒ 2x²+22x-160=0. Корни 5 и -16; при увеличении x≥0, поэтому x=5 см. Новые стороны 24 и 9 см, проверка: 24·9=216 см².
4. 4. ( 10+2x )(11+x)=270 ⇒ 2x²+32x-160=0. Корни 4 и -20; при увеличении x≥0, поэтому x=4 см. Новые стороны 18 и 15 см, проверка: 18·15=270 см².
5. 5. ( 16+2x )(7+x)=180 ⇒ 2x²+30x-68=0. Корни 2 и -17; при увеличении x≥0, поэтому x=2 см. Новые стороны 20 и 9 см, проверка: 20·9=180 см².
6. 6. ( 6+2x )(13+x)=342 ⇒ 2x²+32x-264=0. Корни 6 и -22; при увеличении x≥0, поэтому x=6 см. Новые стороны 18 и 19 см, проверка: 18·19=342 см².
7. 7. ( 18+2x )(5+x)=192 ⇒ 2x²+28x-102=0. Корни 3 и -17; при увеличении x≥0, поэтому x=3 см. Новые стороны 24 и 8 см, проверка: 24·8=192 см².
8. 8. ( 20+2x )(8+x)=336 ⇒ 2x²+36x-176=0. Корни 4 и -22; при увеличении x≥0, поэтому x=4 см. Новые стороны 28 и 12 см, проверка: 28·12=336 см².
9. 9. ( 22+2x )(9+x)=286 ⇒ 2x²+40x-88=0. Корни 2 и -22; при увеличении x≥0, поэтому x=2 см. Новые стороны 26 и 11 см, проверка: 26·11=286 см².
10. 10. ( 14+2x )(12+x)=408 ⇒ 2x²+38x-240=0. Корни 5 и -24; при увеличении x≥0, поэтому x=5 см. Новые стороны 24 и 17 см, проверка: 24·17=408 см².
11. 11. ( 8+2x )(15+x)=484 ⇒ 2x²+38x-364=0. Корни 7 и -26; при увеличении x≥0, поэтому x=7 см. Новые стороны 22 и 22 см, проверка: 22·22=484 см².
12. 12. ( 24+2x )(6+x)=270 ⇒ 2x²+36x-126=0. Корни 3 и -21; при увеличении x≥0, поэтому x=3 см. Новые стороны 30 и 9 см, проверка: 30·9=270 см².
13. 13. ( 12+2x )(17+x)=420 ⇒ 2x²+46x-216=0. Корни 4 и -27; при увеличении x≥0, поэтому x=4 см. Новые стороны 20 и 21 см, проверка: 20·21=420 см².

Разбор ложных утверждений

1. Нет: для первого задания (8+x)(5+2x) при x=2 равно 10·9=90 см²; правильная модель даёт (8+4)(5+2)=84 см². Переставлять приросты между сторонами нельзя.
2. Контрпример — задание №1: корни 2 и −11; оба являются корнями квадратного уравнения, но для увеличения допустим лишь x=2. Отрицательный второй корень нормален.
3. Нет: при положительных сторонах увеличение хотя бы одной из них при x>0 строго увеличивает произведение. При равной площади единственный подходящий параметр равен нулю.

Итог для проверки: восстановление параметра — это поиск значения переменной с последующим возвращением к физическому условию. Подставляйте x в исходную формулу, а не только в приведённое уравнение; размер упаковки и площадь имеют разные единицы. Если результат получился иррациональным, сохраняйте корень в точном виде и округляйте лишь в окончательном ответе, если такое округление требуется.