Восстановление неизвестного параметра в задаче о произведении последовательных чисел: самостоятельная работа, 8 класс

Лёгкий старт: неизвестен не множитель, а его изменение

В условии сказано: первое число на x больше числа 6, второе — следующее за ним целое. Их произведение 90. Тогда числа (6+x) и (7+x), а не x и x+1. Уравнение (6+x)(7+x)=90 даёт x²+13x−48=0, или (x−3)(x+16)=0. Значения x=3 и x=−16. Если «на x больше» означает увеличение, x≥0, поэтому x=3. Проверка: 9·10=90.

Пусть в условии исходная отметка b — целое число, а искомый параметр p показывает, насколько её повысили. При произведении P модель имеет вид (b+p)(b+p+1)=P. Сначала найдите два возможных корня p, затем проверьте условие p≥0 и целочисленность. Не путайте p с первым числом: найденная пара равна b+p и b+p+1.

Маршрут 1 — короткая разминка

1. № 1. Первое число равно 4+p, второе на 1 больше. Их произведение 56. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
2. № 2. Первое число равно 5+p, второе на 1 больше. Их произведение 90. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
3. № 3. Первое число равно 8+p, второе на 1 больше. Их произведение 156. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
4. № 4. Первое число равно 3+p, второе на 1 больше. Их произведение 110. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
5. № 5. Первое число равно 9+p, второе на 1 больше. Их произведение 240. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
6. № 6. Первое число равно 6+p, второе на 1 больше. Их произведение 132. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.

Развилка «ошибка или верно»: оцените рассуждение

1. При исходной отметке 4 и произведении 56 ученик записал 4·5+p²=56. Укажите конкретные потерянные члены.
2. Для уравнения (5+p)(6+p)=90 ученик нашёл числа 9 и 10 и записал p=9. Назовите правильный параметр.
3. Для исходной отметки 8 и произведения 156 ученик получил p=4, а затем отверг его, так как второе число больше первого. Верно ли это?
4. Если произведение двух последовательных натуральных чисел равно 50, допустим ли какой-либо целый параметр?
5. Для базовой отметки 0 и произведения 0 может ли p=0 быть правильным, если разрешены неотрицательные целые числа?

Маршрут 2 — более высокие значения и проверка ограничения

12. № 12. Первое число равно 7+p, второе на 1 больше. Их произведение 210. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
13. № 13. Первое число равно 10+p, второе на 1 больше. Их произведение 342. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
14. № 14. Первое число равно 11+p, второе на 1 больше. Их произведение 306. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
15. № 15. Первое число равно 12+p, второе на 1 больше. Их произведение 506. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
16. № 16. Первое число равно 4+p, второе на 1 больше. Их произведение 272. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
17. № 17. Первое число равно 13+p, второе на 1 больше. Их произведение 650. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
18. № 18. Первое число равно 15+p, второе на 1 больше. Их произведение 462. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
19. № 19. Первое число равно 9+p, второе на 1 больше. Их произведение 380. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
20. № 20. Первое число равно 16+p, второе на 1 больше. Их произведение 812. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
21. № 21. Первое число равно 20+p, второе на 1 больше. Их произведение 992. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
22. № 22. Первое число равно 6+p, второе на 1 больше. Их произведение 420. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.
23. № 23. Первое число равно 14+p, второе на 1 больше. Их произведение 756. Найдите параметр p, если p — неотрицательное целое увеличение. Укажите полученную пару.

Сверка самостоятельных работ

1. № 1. (4+p)(5+p)=56; первое число n=7 или n=-8. Тогда p=3 или -12; допустимо p=3. Полученные числа 7 и 8; 7·8=56.
2. № 2. (5+p)(6+p)=90; первое число n=9 или n=-10. Тогда p=4 или -15; допустимо p=4. Полученные числа 9 и 10; 9·10=90.
3. № 3. (8+p)(9+p)=156; первое число n=12 или n=-13. Тогда p=4 или -21; допустимо p=4. Полученные числа 12 и 13; 12·13=156.
4. № 4. (3+p)(4+p)=110; первое число n=10 или n=-11. Тогда p=7 или -14; допустимо p=7. Полученные числа 10 и 11; 10·11=110.
5. № 5. (9+p)(10+p)=240; первое число n=15 или n=-16. Тогда p=6 или -25; допустимо p=6. Полученные числа 15 и 16; 15·16=240.
6. № 6. (6+p)(7+p)=132; первое число n=11 или n=-12. Тогда p=5 или -18; допустимо p=5. Полученные числа 11 и 12; 11·12=132.
7. № 12. (7+p)(8+p)=210; первое число n=14 или n=-15. Тогда p=7 или -22; допустимо p=7. Полученные числа 14 и 15; 14·15=210.
8. № 13. (10+p)(11+p)=342; первое число n=18 или n=-19. Тогда p=8 или -29; допустимо p=8. Полученные числа 18 и 19; 18·19=342.
9. № 14. (11+p)(12+p)=306; первое число n=17 или n=-18. Тогда p=6 или -29; допустимо p=6. Полученные числа 17 и 18; 17·18=306.
10. № 15. (12+p)(13+p)=506; первое число n=22 или n=-23. Тогда p=10 или -35; допустимо p=10. Полученные числа 22 и 23; 22·23=506.
11. № 16. (4+p)(5+p)=272; первое число n=16 или n=-17. Тогда p=12 или -21; допустимо p=12. Полученные числа 16 и 17; 16·17=272.
12. № 17. (13+p)(14+p)=650; первое число n=25 или n=-26. Тогда p=12 или -39; допустимо p=12. Полученные числа 25 и 26; 25·26=650.
13. № 18. (15+p)(16+p)=462; первое число n=21 или n=-22. Тогда p=6 или -37; допустимо p=6. Полученные числа 21 и 22; 21·22=462.
14. № 19. (9+p)(10+p)=380; первое число n=19 или n=-20. Тогда p=10 или -29; допустимо p=10. Полученные числа 19 и 20; 19·20=380.
15. № 20. (16+p)(17+p)=812; первое число n=28 или n=-29. Тогда p=12 или -45; допустимо p=12. Полученные числа 28 и 29; 28·29=812.
16. № 21. (20+p)(21+p)=992; первое число n=31 или n=-32. Тогда p=11 или -52; допустимо p=11. Полученные числа 31 и 32; 31·32=992.
17. № 22. (6+p)(7+p)=420; первое число n=20 или n=-21. Тогда p=14 или -27; допустимо p=14. Полученные числа 20 и 21; 20·21=420.
18. № 23. (14+p)(15+p)=756; первое число n=27 или n=-28. Тогда p=13 или -42; допустимо p=13. Полученные числа 27 и 28; 27·28=756.

Разбор развилки

1. (4+p)(5+p)=20+9p+p². В ошибочной записи потеряли оба смешанных произведения 4p и 5p.
2. Первое число равно 9, поэтому p=9−5=4, а не 9. Проверка: (5+4)(6+4)=90.
3. Нет. При p=4 числа 12 и 13, которые действительно последовательны; 12·13=156.
4. Нет: 7·8=56, 6·7=42; 50 между соседними возможными произведениями, поэтому подходящих натуральных чисел нет.
5. Да, если допустим ноль: числа 0 и 1 дают произведение 0. При требовании строго положительных чисел ответ отсутствовал бы.

Перед сдачей работы объясните, почему отрицательный корень можно исключить только после записи ограничений. Для задач с произвольными целыми числами знак отрицательного корня сам по себе не означает ошибку: здесь ограничение создаёт конкретная фраза о неотрицательном увеличении параметра.