Восстановление неизвестного параметра для распределения общего количества — задачи с решениями для 8 класса

Мини-тест: как восстановить величину добавки при распределении

Правило модели: общее количество равно числу групп, умноженному на число предметов в каждой группе. Если групп g, в каждой g+p элементов, то T=g(g+p) и p=T/g−g. Если при изменении параметра увеличиваются и число групп, и наполнение каждой, запись становится T=(g+p)(k+p) и требуется решить квадратное уравнение. Во всех задачах p — целое неотрицательное число предметов или групп; дробный результат нельзя произвольно округлять.

Оценивание: 1 балл — правильное уравнение, 1 балл — допустимый параметр с проверкой. Всего 24 балла. 22–24 — уверенное владение моделью; 17–21 — закрепите интерпретацию параметра; 0–16 — пересмотрите, что обозначает каждый множитель.

Вопросы без подсказок

1. 1. В 5 равных коробках разместили 45 жетонов. В каждой должно быть на p жетонов больше, чем самих коробок. Найдите p и покажите обратную проверку.
2. 2. В 7 равных коробках разместили 70 жетонов. В каждой должно быть на p жетонов больше, чем самих коробок. Найдите p и покажите обратную проверку.
3. 3. В 8 равных коробках разместили 104 жетонов. В каждой должно быть на p жетонов больше, чем самих коробок. Найдите p и покажите обратную проверку.
4. 4. В 9 равных коробках разместили 135 жетонов. В каждой должно быть на p жетонов больше, чем самих коробок. Найдите p и покажите обратную проверку.
5. 5. В 12 равных коробках разместили 168 жетонов. В каждой должно быть на p жетонов больше, чем самих коробок. Найдите p и покажите обратную проверку.
6. 6. Вначале планировали 4 ящиков по 7 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 54 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
7. 7. Вначале планировали 6 ящиков по 9 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 108 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
8. 8. Вначале планировали 5 ящиков по 11 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 135 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
9. 9. Вначале планировали 8 ящиков по 10 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 120 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
10. 10. Вначале планировали 7 ящиков по 12 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 204 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
11. 11. Вначале планировали 9 ящиков по 13 деталей. Изменение параметра p означало добавление p ящиков и p деталей в каждом. Фактически распределено 192 деталей. Найдите неотрицательный целый p.
12. 12. Планировали 4 ящика по 5 деталей; после равного добавления p к обоим числам хотят получить ровно 30 деталей. Есть ли целый неотрицательный p?

Быстрый ключ с проверками

1. 1. 5(5+p)=45; p=45/5−5=4. В коробке 9 жетонов, 5·9=45.
2. 2. 7(7+p)=70; p=70/7−7=3. В коробке 10 жетонов, 7·10=70.
3. 3. 8(8+p)=104; p=104/8−8=5. В коробке 13 жетонов, 8·13=104.
4. 4. 9(9+p)=135; p=135/9−9=6. В коробке 15 жетонов, 9·15=135.
5. 5. 12(12+p)=168; p=168/12−12=2. В коробке 14 жетонов, 12·14=168.
6. 6. (4+p)(7+p)=54; корни p=2 и p=-13. Подходит p=2: 6 ящиков по 9 деталей = 54.
7. 7. (6+p)(9+p)=108; корни p=3 и p=-18. Подходит p=3: 9 ящиков по 12 деталей = 108.
8. 8. (5+p)(11+p)=135; корни p=4 и p=-20. Подходит p=4: 9 ящиков по 15 деталей = 135.
9. 9. (8+p)(10+p)=120; корни p=2 и p=-20. Подходит p=2: 10 ящиков по 12 деталей = 120.
10. 10. (7+p)(12+p)=204; корни p=5 и p=-24. Подходит p=5: 12 ящиков по 17 деталей = 204.
11. 11. (9+p)(13+p)=192; корни p=3 и p=-25. Подходит p=3: 12 ящиков по 16 деталей = 192.
12. 12. (4+p)(5+p)=30. При p=0 всего 20, при p=1 всего 30, значит p=1. Проверка 5·6=30; другой корень −10 недопустим.

Почему некоторые ответы требуют объяснения

В заданиях 1–5 количество групп постоянно; параметр влияет лишь на наполнение. В заданиях 6–12 оба множителя изменяются, поэтому попытка делить итог на начальное число ящиков приводит к неверной модели. Например, в задании №6 число ящиков уже не равно четырём, когда p>0. Для контроля полезно выписать итоговые два множителя отдельно и проверить их произведение.

Важно отличать математический корень от физически допустимого параметра. Отрицательные корни возникших уравнений не соответствуют добавлению групп и деталей. Если получился положительный, но нецелый корень при условии неделимых предметов, точного распределения по такой модели нет. Это задача о распределении конкретного количества, а не о приближённом планировании.