Сравнение двух способов решения при движении с разными скоростями — упражнения разной сложности, 8 класс

Два способа решения одной задачи: движение навстречу

Два велосипедиста одновременно выехали из городов навстречу друг другу. Их скорости 18 и 12 км/ч, между городами 90 км. Способ 1 — относительная скорость: расстояние между ними сокращается на 18+12=30 км за час, встреча через 90/30=3 ч. Способ 2 — отдельные пути: первый проедет 18t, второй 12t; уравнение 18t+12t=90 даёт t=3 ч. Проверка: 54+36=90 км. Оба метода дают один результат, но объясняют его с разных сторон.

При движении в одну сторону быстрый догоняет медленного: относительная скорость равна разности скоростей. Например, при первоначальном отставании 24 км, скоростях 20 и 12 км/ч: 24/(20−12)=3 ч. Через 3 ч быстрый проедет 60 км, медленный пройдёт 36 км, а его исходный отрыв 24 км; поэтому 60=24+36.

Таблица наблюдений: как отличить встречу от погони

Вариант A: восемь встреч

1. № 1. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 60 км со скоростями 16 и 14 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
2. № 2. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 126 км со скоростями 24 и 18 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
3. № 3. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 120 км со скоростями 35 и 25 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
4. № 4. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 84 км со скоростями 12 и 9 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
5. № 5. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 175 км со скоростями 22 и 13 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
6. № 6. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 180 км со скоростями 28 и 17 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
7. № 7. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 198 км со скоростями 18 и 15 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.
8. № 8. Два участника идут навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 150 км со скоростями 31 и 19 км/ч. Найдите время встречи двумя способами, затем укажите путь каждого.

Вариант Б: восемь догоняющих

9. № 9. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 26 км/ч, медленный — 14 км/ч и уже впереди на 36 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
10. № 10. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 29 км/ч, медленный — 17 км/ч и уже впереди на 48 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
11. № 11. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 32 км/ч, медленный — 20 км/ч и уже впереди на 24 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
12. № 12. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 24 км/ч, медленный — 15 км/ч и уже впереди на 45 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
13. № 13. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 35 км/ч, медленный — 21 км/ч и уже впереди на 42 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
14. № 14. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 30 км/ч, медленный — 18 км/ч и уже впереди на 72 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
15. № 15. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 27 км/ч, медленный — 16 км/ч и уже впереди на 44 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.
16. № 16. Быстрый участник движется в том же направлении со скоростью 38 км/ч, медленный — 23 км/ч и уже впереди на 30 км. Через сколько часов первый догонит второго? Решите через скорость сближения и через равенство положений.

Поиск противоречий в чужих решениях

1. При встрече скорости 24 и 18 км/ч ученик вычел их: 42/(24−18)=7 ч. Почему этот способ здесь неверен?
2. В погоне с разницей скоростей 12 км/ч и отставанием 36 км ученик сложил скорости и получил меньше часа. Объясните ошибку.
3. Ученик правильно получил t=3 ч, но написал путь 3 км. Что означает переменная t и как проверить единицы?
4. При одинаковых скоростях и положительном отставании догонит ли первый второго? Почему формула требует осторожности?

Ключ: варианты и обратные проверки

1. 1. Способ 1: 60/(16+14)=2 ч. Способ 2: 16t+14t=60 ⇒ t=2. Пройденные пути 32 и 28 км; 32+28=60 км.
2. 2. Способ 1: 126/(24+18)=3 ч. Способ 2: 24t+18t=126 ⇒ t=3. Пройденные пути 72 и 54 км; 72+54=126 км.
3. 3. Способ 1: 120/(35+25)=2 ч. Способ 2: 35t+25t=120 ⇒ t=2. Пройденные пути 70 и 50 км; 70+50=120 км.
4. 4. Способ 1: 84/(12+9)=4 ч. Способ 2: 12t+9t=84 ⇒ t=4. Пройденные пути 48 и 36 км; 48+36=84 км.
5. 5. Способ 1: 175/(22+13)=5 ч. Способ 2: 22t+13t=175 ⇒ t=5. Пройденные пути 110 и 65 км; 110+65=175 км.
6. 6. Способ 1: 180/(28+17)=4 ч. Способ 2: 28t+17t=180 ⇒ t=4. Пройденные пути 112 и 68 км; 112+68=180 км.
7. 7. Способ 1: 198/(18+15)=6 ч. Способ 2: 18t+15t=198 ⇒ t=6. Пройденные пути 108 и 90 км; 108+90=198 км.
8. 8. Способ 1: 150/(31+19)=3 ч. Способ 2: 31t+19t=150 ⇒ t=3. Пройденные пути 93 и 57 км; 93+57=150 км.
9. 9. Способ 1: 36/(26−14)=3 ч. Способ 2: 26t=36+14t ⇒ t=3; проверка 78 км = 36+42 км.
10. 10. Способ 1: 48/(29−17)=4 ч. Способ 2: 29t=48+17t ⇒ t=4; проверка 116 км = 48+68 км.
11. 11. Способ 1: 24/(32−20)=2 ч. Способ 2: 32t=24+20t ⇒ t=2; проверка 64 км = 24+40 км.
12. 12. Способ 1: 45/(24−15)=5 ч. Способ 2: 24t=45+15t ⇒ t=5; проверка 120 км = 45+75 км.
13. 13. Способ 1: 42/(35−21)=3 ч. Способ 2: 35t=42+21t ⇒ t=3; проверка 105 км = 42+63 км.
14. 14. Способ 1: 72/(30−18)=6 ч. Способ 2: 30t=72+18t ⇒ t=6; проверка 180 км = 72+108 км.
15. 15. Способ 1: 44/(27−16)=4 ч. Способ 2: 27t=44+16t ⇒ t=4; проверка 108 км = 44+64 км.
16. 16. Способ 1: 30/(38−23)=2 ч. Способ 2: 38t=30+23t ⇒ t=2; проверка 76 км = 30+46 км.

Ответы к поиску противоречий

1. При встречном движении расстояние сокращается сразу с обеих сторон, поэтому скорости складываются: 24+18=42 км/ч. Для расстояния 42 км время — 1 ч, не 7 ч.
2. При погоне быстрый сокращает отрыв только на разность скоростей. При разнице 12 км/ч и отрыве 36 км нужно 3 ч.
3. t — время в часах; пройденное расстояние вычисляют отдельно по формуле s=vt и указывают км.
4. Нет: расстояние между ними не уменьшается. Знаменатель vбыстр−vмедл=0; делить на ноль нельзя, встречи в условиях погони не произойдёт.

При проверке не ограничивайтесь единственной формулой. Для каждого решения составьте осмысленное равенство путей: при встрече их сумма равна начальному расстоянию, при погоне путь быстрого равен первоначальному отставанию плюс путь медленного. Эти два уравнения помогают обнаружить неправильный выбор знака и автоматически проверить единицы измерения.