Сравнение двух способов решения при изменении размеров упаковки: мини-практикум с ответами, 8 класс

Два пути к одному результату: площадь всей стороны и прирост площади

Прямоугольная лицевая сторона коробки имела размеры 8×6 см. После увеличения обеих сторон на одинаковое x см площадь стала 168 см². Способ 1: (8+x)(6+x)=168; x²+14x−120=0; корни 6 и −20. Допустимо x=6 см, новые стороны 14 и 12 см. Способ 2: к старым 48 см² добавлены две полосы 8x и 6x и угловой квадрат x². Прирост равен 168−48=120 см²; уравнение 8x+6x+x²=120 приводит к тому же корню. Это действительно два разных способа построения модели, а не два случайных ответа.

Способ полной площади полезнее, когда известен конечный размер. Способ разложения прироста полезнее, если в задаче отдельно указан прирост площади; он позволяет увидеть, почему ошибочно писать Sнов=ab+x². По смыслу x≥0, а при увеличении хотя бы на положительное число площадь увеличивается. Полные ответы проверяйте по новой площади, а не по промежуточным вычислениям.

Разобранное изменение условия

Если исходные стороны 12 и 5 см, а площадь после увеличения равна 136 см², то (12+x)(5+x)=136 и x²+17x−76=0. Можно также приравнять прирост к 136−60=76 см²: 17x+x²=76. Положительный корень x=4 см, отрицательный x=−19 см. Проверка: 16·9=144, а не 136! Значит, допущена ошибка в арифметике исходного примера. Исправляем постановку: для увеличения на 4 см правильная итоговая площадь равна 144 см². Если в условии действительно 136 см², ответ x=(−17+√593)/2≈3,68 см. Такой контроль исходного произведения помогает ловить ошибки, даже если обе модели формально совпадают.

Самостоятельная серия: сначала полная площадь

1. № 1. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 9×4 см требуется площадь 84 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
2. № 2. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 11×7 см требуется площадь 117 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
3. № 3. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 8×13 см требуется площадь 234 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
4. № 4. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 15×6 см требуется площадь 190 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
5. № 5. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 12×9 см требуется площадь 270 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
6. № 6. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 7×5 см требуется площадь 195 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
7. № 7. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 16×10 см требуется площадь 247 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?

Новая серия: сначала прирост и его составные части

8. № 8. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 18×8 см требуется площадь 299 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
9. № 9. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 14×11 см требуется площадь 270 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
10. № 10. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 10×17 см требуется площадь 228 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
11. № 11. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 20×7 см требуется площадь 338 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
12. № 12. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 13×6 см требуется площадь 260 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
13. № 13. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 17×12 см требуется площадь 300 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
14. № 14. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 19×9 см требуется площадь 299 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?
15. № 15. Для прямоугольной лицевой стороны упаковки 22×10 см требуется площадь 405 см². Обе стороны увеличили одинаково. Найдите x двумя способами: через конечную площадь и через добавленные полосы. Каков прирост площади?

Проверка моделей по обратной подстановке

1. 1. Полная модель: (9+x)(4+x)=84. По приросту: (9+4)x+x²=48. Оба уравнения дают x=3 или x=-16; допустимо x=3 см. Новая площадь 12·7=84 см², прирост 84−36=48 см².
2. 2. Полная модель: (11+x)(7+x)=117. По приросту: (11+7)x+x²=40. Оба уравнения дают x=2 или x=-20; допустимо x=2 см. Новая площадь 13·9=117 см², прирост 117−77=40 см².
3. 3. Полная модель: (8+x)(13+x)=234. По приросту: (8+13)x+x²=130. Оба уравнения дают x=5 или x=-26; допустимо x=5 см. Новая площадь 13·18=234 см², прирост 234−104=130 см².
4. 4. Полная модель: (15+x)(6+x)=190. По приросту: (15+6)x+x²=100. Оба уравнения дают x=4 или x=-25; допустимо x=4 см. Новая площадь 19·10=190 см², прирост 190−90=100 см².
5. 5. Полная модель: (12+x)(9+x)=270. По приросту: (12+9)x+x²=162. Оба уравнения дают x=6 или x=-27; допустимо x=6 см. Новая площадь 18·15=270 см², прирост 270−108=162 см².
6. 6. Полная модель: (7+x)(5+x)=195. По приросту: (7+5)x+x²=160. Оба уравнения дают x=8 или x=-20; допустимо x=8 см. Новая площадь 15·13=195 см², прирост 195−35=160 см².
7. 7. Полная модель: (16+x)(10+x)=247. По приросту: (16+10)x+x²=87. Оба уравнения дают x=3 или x=-29; допустимо x=3 см. Новая площадь 19·13=247 см², прирост 247−160=87 см².
8. 8. Полная модель: (18+x)(8+x)=299. По приросту: (18+8)x+x²=155. Оба уравнения дают x=5 или x=-31; допустимо x=5 см. Новая площадь 23·13=299 см², прирост 299−144=155 см².
9. 9. Полная модель: (14+x)(11+x)=270. По приросту: (14+11)x+x²=116. Оба уравнения дают x=4 или x=-29; допустимо x=4 см. Новая площадь 18·15=270 см², прирост 270−154=116 см².
10. 10. Полная модель: (10+x)(17+x)=228. По приросту: (10+17)x+x²=58. Оба уравнения дают x=2 или x=-29; допустимо x=2 см. Новая площадь 12·19=228 см², прирост 228−170=58 см².
11. 11. Полная модель: (20+x)(7+x)=338. По приросту: (20+7)x+x²=198. Оба уравнения дают x=6 или x=-33; допустимо x=6 см. Новая площадь 26·13=338 см², прирост 338−140=198 см².
12. 12. Полная модель: (13+x)(6+x)=260. По приросту: (13+6)x+x²=182. Оба уравнения дают x=7 или x=-26; допустимо x=7 см. Новая площадь 20·13=260 см², прирост 260−78=182 см².
13. 13. Полная модель: (17+x)(12+x)=300. По приросту: (17+12)x+x²=96. Оба уравнения дают x=3 или x=-32; допустимо x=3 см. Новая площадь 20·15=300 см², прирост 300−204=96 см².
14. 14. Полная модель: (19+x)(9+x)=299. По приросту: (19+9)x+x²=128. Оба уравнения дают x=4 или x=-32; допустимо x=4 см. Новая площадь 23·13=299 см², прирост 299−171=128 см².
15. 15. Полная модель: (22+x)(10+x)=405. По приросту: (22+10)x+x²=185. Оба уравнения дают x=5 или x=-37; допустимо x=5 см. Новая площадь 27·15=405 см², прирост 405−220=185 см².

Три короткие диагностические ситуации

1. Для упаковки 9×4 см после прибавки x=3 см ученик вычислил новый размер как 9×(4+3). Какую часть изменения он пропустил?
2. При увеличении обеих сторон на 0 см новая площадь и исходная различаются на 0 см². Всегда ли это верно?
3. Один ученик нашёл корень x=−16, а другой x=3 в задаче с увеличением. Можно ли выбрать отрицательный, если многочлен обращается в ноль?

Разбор ошибок

1. Пропущено увеличение длины: правильная площадь (9+3)(4+3)=84 см²; ошибка даёт 63 см².
2. Да. При x=0 прирост (a+b)·0+0²=0, а конечное произведение остаётся ab.
3. Нет. При физическом увеличении x≥0; отрицательный корень не соответствует формулировке, даже если алгебраически он верен.

Сравнивая способы, просите ученика сначала обозначить величину x, затем записать обе модели и показать, что после раскрытия скобок они эквивалентны. Но математическая эквивалентность не гарантирует верный смысл: финальный результат обязан отвечать исходному условию с заданными размерами и единицами.