Сравнение двух способов решения в задаче о произведении последовательных чисел — рабочий лист для 8 класса

Контрольные вопросы: сначала определите, существует ли целая пара

Рассматриваются два последовательных положительных целых числа n и n+1. Их произведение P. Метод 1: решите квадратное уравнение n²+n−P=0 и проверьте положительный целый корень. Метод 2: из (2n+1)²=4P+1 проверьте, является ли число 4P+1 квадратом нечётного целого числа; тогда n=(√(4P+1)−1)/2. Второй метод удобен для быстрой диагностики невозможных данных.

Три контрольных вопроса

1. № 1. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 20? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
2. № 2. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 30? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
3. № 3. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 50? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.

Основной рабочий лист — девять новых проверок

4. № 4. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 42? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
5. № 5. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 56? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
6. № 6. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 63? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
7. № 7. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 72? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
8. № 8. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 90? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
9. № 9. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 110? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
10. № 10. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 13? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
11. № 11. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 132? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.
12. № 12. Может ли произведение двух соседних положительных целых чисел равняться 156? Решите обоими способами; если да, назовите числа, если нет — приведите объяснение.

Ключ с двумя способами решения

1. № 1. Проверка методом 1: n²+n−20=0, положительный корень 4. Метод 2: 4P+1=81=9²; n=(9−1)/2=4. Пара (4, 5); 4·5=20.
2. № 2. Проверка методом 1: n²+n−30=0, положительный корень 5. Метод 2: 4P+1=121=11²; n=(11−1)/2=5. Пара (5, 6); 5·6=30.
3. № 3. Нет пары положительных последовательных целых чисел: 4P+1=201, а 14²=196 и 15²=225, то есть 201 не квадрат целого. Уравнение имеет действительные, но не подходящие целые корни.
4. № 4. Проверка методом 1: n²+n−42=0, положительный корень 6. Метод 2: 4P+1=169=13²; n=(13−1)/2=6. Пара (6, 7); 6·7=42.
5. № 5. Проверка методом 1: n²+n−56=0, положительный корень 7. Метод 2: 4P+1=225=15²; n=(15−1)/2=7. Пара (7, 8); 7·8=56.
6. № 6. Нет пары положительных последовательных целых чисел: 4P+1=253, а 15²=225 и 16²=256, то есть 253 не квадрат целого. Уравнение имеет действительные, но не подходящие целые корни.
7. № 7. Проверка методом 1: n²+n−72=0, положительный корень 8. Метод 2: 4P+1=289=17²; n=(17−1)/2=8. Пара (8, 9); 8·9=72.
8. № 8. Проверка методом 1: n²+n−90=0, положительный корень 9. Метод 2: 4P+1=361=19²; n=(19−1)/2=9. Пара (9, 10); 9·10=90.
9. № 9. Проверка методом 1: n²+n−110=0, положительный корень 10. Метод 2: 4P+1=441=21²; n=(21−1)/2=10. Пара (10, 11); 10·11=110.
10. № 10. Нет пары положительных последовательных целых чисел: 4P+1=53, а 7²=49 и 8²=64, то есть 53 не квадрат целого. Уравнение имеет действительные, но не подходящие целые корни.
11. № 11. Проверка методом 1: n²+n−132=0, положительный корень 11. Метод 2: 4P+1=529=23²; n=(23−1)/2=11. Пара (11, 12); 11·12=132.
12. № 12. Проверка методом 1: n²+n−156=0, положительный корень 12. Метод 2: 4P+1=625=25²; n=(25−1)/2=12. Пара (12, 13); 12·13=156.

Ошибки, которые нельзя допускать

Нельзя делать вывод «пара существует», только потому что P чётно. Произведение соседних целых действительно всегда чётно, но обратное неверно: например, P=50 чётно, однако 7·8=56, а 6·7=42. Также нельзя округлять найденное действительное n до ближайшего целого: так произведение перестанет быть равным заданному числу.

При методе квадратного уравнения отрицательный корень может существовать и быть целым. Но он не отвечает условию о положительных количествах; если бы задача касалась просто соседних целых чисел без знаковых ограничений, отрицательная пара тоже могла бы быть допустимой. Отдельно запишите смысл n и проверьте подстановкой оба множителя.