Сравнение сумм прогрессий для убывающих положительных членов — математический практикум для 9 класса

Почему сравнение первых членов может обмануть

Сравниваются только положительные убывающие геометрические прогрессии: a₁>0 и 0<q<1. Несмотря на уменьшение членов, суммы Sₙ растут с увеличением n, потому что каждый новый член положителен. Однако прогрессия с меньшим первым членом может иметь большую сумму из-за более медленного убывания.

Базовый случай: прогрессия A начинается с 18 при q=1/2; Б начинается с 12 при q=3/4. Для четырёх членов A: 18+9+9/2+9/4=135/4; Б: 12+9+27/4+81/16=525/16. Получаем 135/4=540/16>525/16. Если число членов увеличивать, суммарное сравнение может измениться: нельзя делать вывод только по a₁. В каждой задаче сравнивайте суммы при одинаковом n.

Три шага обратной проверки

1. Запишите a₁, q и n для обеих прогрессий. Проверьте, что 0<q<1, иначе слова «убывающие положительные» не выполнены.
2. Вычислите Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q). Для контрольного результата можно сложить первые два и последний члены по отдельности.
3. Проверьте, что Sₙ>a₁ и Sₙ<a₁/(1−q). Верхняя граница — сумма бесконечно продолжаемого ряда (используется здесь лишь как проверка при 0<q<1).

Обратная проверка: серии 1–5

1. № 1. A: a₁=18, q=1/2; Б: a₁=12, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 4 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
2. № 2. A: a₁=20, q=1/3; Б: a₁=13, q=2/3. У какой прогрессии сумма первых 5 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
3. № 3. A: a₁=24, q=1/2; Б: a₁=16, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 6 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
4. № 4. A: a₁=35, q=1/4; Б: a₁=18, q=2/3. У какой прогрессии сумма первых 4 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
5. № 5. A: a₁=15, q=3/4; Б: a₁=28, q=1/2. У какой прогрессии сумма первых 5 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.

Изменённые условия: серии 6–10

В этой части скорость убывания специально различается сильнее: не используйте правило «у кого больше первый член, у того больше сумма». Покажите хотя бы одно промежуточное значение, подтверждающее расчёт.

6. № 6. A: a₁=40, q=1/3; Б: a₁=21, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 4 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
7. № 7. A: a₁=36, q=1/2; Б: a₁=20, q=2/3. У какой прогрессии сумма первых 6 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
8. № 8. A: a₁=16, q=3/4; Б: a₁=25, q=1/3. У какой прогрессии сумма первых 5 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
9. № 9. A: a₁=30, q=2/3; Б: a₁=27, q=1/2. У какой прогрессии сумма первых 4 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
10. № 10. A: a₁=42, q=1/4; Б: a₁=16, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 6 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.

Самостоятельный уровень: серии 11–15

Перед раскрытием ключа сделайте оценку сверху a₁/(1−q). Если вычисленная конечная сумма оказалась больше этой границы или ниже первого члена, решение неверно.

11. № 11. A: a₁=12, q=3/4; Б: a₁=18, q=2/3. У какой прогрессии сумма первых 4 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
12. № 12. A: a₁=54, q=1/3; Б: a₁=20, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 5 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
13. № 13. A: a₁=33, q=1/2; Б: a₁=18, q=3/4. У какой прогрессии сумма первых 6 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
14. № 14. A: a₁=45, q=1/4; Б: a₁=20, q=2/3. У какой прогрессии сумма первых 5 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.
15. № 15. A: a₁=20, q=3/4; Б: a₁=30, q=1/2. У какой прогрессии сумма первых 6 членов больше? Верно ли сравнение по первому члену? Проверьте сумму обратным сложением всех n членов.

Полный ключ и обратная подстановка

1. 1. A: S₄=18·(1−(1/2)⁴)/(1−1/2)=135/4. Б: S₄=12·(1−(3/4)⁴)/(1−3/4)=525/16. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=9/4, Б=81/16.
2. 2. A: S₅=20·(1−(1/3)⁵)/(1−1/3)=2420/81. Б: S₅=13·(1−(2/3)⁵)/(1−2/3)=2743/81. Итак, S(A) < S(Б); последний член A=20/81, Б=208/81.
3. 3. A: S₆=24·(1−(1/2)⁶)/(1−1/2)=189/4. Б: S₆=16·(1−(3/4)⁶)/(1−3/4)=3367/64. Итак, S(A) < S(Б); последний член A=3/4, Б=243/64.
4. 4. A: S₄=35·(1−(1/4)⁴)/(1−1/4)=2975/64. Б: S₄=18·(1−(2/3)⁴)/(1−2/3)=130/3. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=35/64, Б=16/3.
5. 5. A: S₅=15·(1−(3/4)⁵)/(1−3/4)=11715/256. Б: S₅=28·(1−(1/2)⁵)/(1−1/2)=217/4. Итак, S(A) < S(Б); последний член A=1215/256, Б=7/4.
6. 6. A: S₄=40·(1−(1/3)⁴)/(1−1/3)=1600/27. Б: S₄=21·(1−(3/4)⁴)/(1−3/4)=3675/64. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=40/27, Б=567/64.
7. 7. A: S₆=36·(1−(1/2)⁶)/(1−1/2)=567/8. Б: S₆=20·(1−(2/3)⁶)/(1−2/3)=13300/243. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=9/8, Б=640/243.
8. 8. A: S₅=16·(1−(3/4)⁵)/(1−3/4)=781/16. Б: S₅=25·(1−(1/3)⁵)/(1−1/3)=3025/81. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=81/16, Б=25/81.
9. 9. A: S₄=30·(1−(2/3)⁴)/(1−2/3)=650/9. Б: S₄=27·(1−(1/2)⁴)/(1−1/2)=405/8. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=80/9, Б=27/8.
10. 10. A: S₆=42·(1−(1/4)⁶)/(1−1/4)=28665/512. Б: S₆=16·(1−(3/4)⁶)/(1−3/4)=3367/64. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=21/512, Б=243/64.
11. 11. A: S₄=12·(1−(3/4)⁴)/(1−3/4)=525/16. Б: S₄=18·(1−(2/3)⁴)/(1−2/3)=130/3. Итак, S(A) < S(Б); последний член A=81/16, Б=16/3.
12. 12. A: S₅=54·(1−(1/3)⁵)/(1−1/3)=242/3. Б: S₅=20·(1−(3/4)⁵)/(1−3/4)=3905/64. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=2/3, Б=405/64.
13. 13. A: S₆=33·(1−(1/2)⁶)/(1−1/2)=2079/32. Б: S₆=18·(1−(3/4)⁶)/(1−3/4)=30303/512. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=33/32, Б=2187/512.
14. 14. A: S₅=45·(1−(1/4)⁵)/(1−1/4)=15345/256. Б: S₅=20·(1−(2/3)⁵)/(1−2/3)=4220/81. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=45/256, Б=320/81.
15. 15. A: S₆=20·(1−(3/4)⁶)/(1−3/4)=16835/256. Б: S₆=30·(1−(1/2)⁶)/(1−1/2)=945/16. Итак, S(A) > S(Б); последний член A=1215/256, Б=15/16.

Ошибку можно обнаружить без длинных вычислений

1. Для A: a₁=24, q=1/2, ученик получил S₅=49. Объясните, почему это невозможно: найдите верхнюю границу и точную сумму.
2. Сравнивают A: a₁=30,q=1/2 и Б: a₁=20,q=3/4. Можно ли заранее заключить, что Sₙ(A)>Sₙ(Б) для любого n, только по a₁?
3. Для q=0,6 ученик вместо формулы суммы положительных членов использует Sₙ=a₁(1+qⁿ)/(1+q). Можно ли выявить ошибку при n=1? При каком минимальном n расхождение заметно?

Обоснования к контрольным вопросам

1. При q=1/2 сумма всех будущих членов меньше 24/(1−1/2)=48, поэтому 49 недостижимо. Точно S₅=24·(1−1/32)/(1/2)=93/2=46,5.
2. Нельзя. Для n=1 сумма A=30, Б=20, но предельная сумма A=60, а Б=80; при достаточно большом n возможен обратный порядок. Нужно считать конкретное n.
3. При n=1 правильная сумма обязана быть a₁, а ошибочная формула даёт a₁(1+q)/(1+q)=a₁ случайно правильное значение при n=1; поэтому этой проверкой ошибку не выявить. При n=2 верная сумма a₁(1+q), ошибочная a₁(1+q²)/(1+q), и они не равны. Это пример того, почему одного удачного теста недостаточно.

Критерии работы: верное обоснование ограничений 0<q<1; точное вычисление обеих сумм, а не десятичная прикидка; знак сравнения и одна независимая проверка. Дроби лучше оставлять в точном виде: преждевременное округление может поменять порядок близких сумм.