Сравнение сумм прогрессий при условии на произведение членов: тематические карточки для 9 класса

Быстрая диагностика: от произведения членов к сумме

В положительной геометрической прогрессии b₁·b₃=b₂². Это верно потому, что b₁=a, b₂=aq, b₃=aq². Поэтому по известному произведению P=b₁b₃ можно восстановить b₂=√P, но нельзя узнать знаменатель q или S₄ только из P. Для однозначного результата дополнительно зададим q>0, а затем сравним суммы первых четырёх членов двух прогрессий.

Три контрольных вопроса

1. Если b₁b₃=36 и q=2, найдите b₂, b₁ и S₄.
2. Если b₁b₃=36 без указания q, всегда ли S₄ одинаковая? Приведите две прогрессии с разными суммами.
3. Если b₁b₃=50, могут ли все три члена b₁,b₂,b₃ быть рациональными и положительными?

Девять новых заданий на сравнение

4. № 4. В A: b₁b₃=36, q=2; в Б: b₁b₃=64, q=1/2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
5. № 5. В A: b₁b₃=81, q=3; в Б: b₁b₃=36, q=2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
6. № 6. В A: b₁b₃=64, q=1/2; в Б: b₁b₃=144, q=3. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
7. № 7. В A: b₁b₃=100, q=2; в Б: b₁b₃=36, q=3. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
8. № 8. В A: b₁b₃=144, q=1/2; в Б: b₁b₃=256, q=2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
9. № 9. В A: b₁b₃=225, q=3; в Б: b₁b₃=100, q=1/2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
10. № 10. В A: b₁b₃=324, q=2; в Б: b₁b₃=81, q=3. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
11. № 11. В A: b₁b₃=196, q=1/2; в Б: b₁b₃=144, q=2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?
12. № 12. В A: b₁b₃=441, q=3; в Б: b₁b₃=256, q=1/2. Восстановите первые члены, затем сравните S₄(A) и S₄(Б). Можно ли решить, вообще не используя указанные q?

Ответы на контрольные вопросы

1. b₂=6, b₁=3. Четыре члена 3, 6, 12, 24; S₄=45. Обратная проверка: 3·12=36.
2. Нет. При q=2 это 3,6,12,24 и S₄=45; при q=3 это 2,6,18,54 и S₄=80. В обоих случаях b₁b₃=36.
3. Нет. b₂=√50=5√2 — положительное иррациональное число. Поэтому при требовании рациональности всех трёх членов такого произведения быть не может. Если рациональность не требуется, положительная прогрессия возможна.

Короткий ключ с объяснением

1. 4. A: b₂=√36=6, b₁=6/2=3, сумма S₄=45. Б: b₂=8, b₁=16, сумма S₄=30. Следовательно S₄(A) > S₄(Б). Проверка произведения A: 3·12=36; Б: 16·4=64.
2. 5. A: b₂=√81=9, b₁=9/3=3, сумма S₄=120. Б: b₂=6, b₁=3, сумма S₄=45. Следовательно S₄(A) > S₄(Б). Проверка произведения A: 3·27=81; Б: 3·12=36.
3. 6. A: b₂=√64=8, b₁=8/1/2=16, сумма S₄=30. Б: b₂=12, b₁=4, сумма S₄=160. Следовательно S₄(A) < S₄(Б). Проверка произведения A: 16·4=64; Б: 4·36=144.
4. 7. A: b₂=√100=10, b₁=10/2=5, сумма S₄=75. Б: b₂=6, b₁=2, сумма S₄=80. Следовательно S₄(A) < S₄(Б). Проверка произведения A: 5·20=100; Б: 2·18=36.
5. 8. A: b₂=√144=12, b₁=12/1/2=24, сумма S₄=45. Б: b₂=16, b₁=8, сумма S₄=120. Следовательно S₄(A) < S₄(Б). Проверка произведения A: 24·6=144; Б: 8·32=256.
6. 9. A: b₂=√225=15, b₁=15/3=5, сумма S₄=200. Б: b₂=10, b₁=20, сумма S₄=75/2. Следовательно S₄(A) > S₄(Б). Проверка произведения A: 5·45=225; Б: 20·5=100.
7. 10. A: b₂=√324=18, b₁=18/2=9, сумма S₄=135. Б: b₂=9, b₁=3, сумма S₄=120. Следовательно S₄(A) > S₄(Б). Проверка произведения A: 9·36=324; Б: 3·27=81.
8. 11. A: b₂=√196=14, b₁=14/1/2=28, сумма S₄=105/2. Б: b₂=12, b₁=6, сумма S₄=90. Следовательно S₄(A) < S₄(Б). Проверка произведения A: 28·7=196; Б: 6·24=144.
9. 12. A: b₂=√441=21, b₁=21/3=7, сумма S₄=280. Б: b₂=16, b₁=32, сумма S₄=60. Следовательно S₄(A) > S₄(Б). Проверка произведения A: 7·63=441; Б: 32·8=256.

Памятка: произведение определяет средний член, но не сумму. Если знаменатель не указан, найдите два различных q и покажите разные S₄ — это строгий контрпример к неверной попытке восстановить сумму из одного произведения. Если числовые данные не допускают положительных членов из заданной области, явно укажите причину, а не подменяйте их округлёнными числами.