Сравнение сумм прогрессий в модели поэтапного роста — проверочная работа по математике, 9 класс

Памятка для проверочной: этап и накопленный итог — разные величины

Модель поэтапного роста: на первом этапе значение a₁ условных единиц, на каждом следующем оно умножается на постоянный коэффициент q>1. Значение n-го этапа — aₙ=a₁qⁿ⁻¹; общий объём за первые n этапов — Sₙ=a₁(1+q+…+qⁿ⁻¹). Сравнение лишь последних этапов не доказывает сравнения накопленных итогов, если темпы роста различаются.

Разобранный образец: программа A даёт 8 единиц в первом цикле и удваивается; программа Б даёт 5 единиц и утраивается. За четыре цикла A накопит 8+16+32+64=120, Б накопит 5+15+45+135=200. На четвёртом цикле 64<135 и для этой пары итог тоже меньше, но это отдельное вычисление, а не универсальное правило. Ответы можно оставлять рациональными, если коэффициент роста равен 3/2.

Вариант I: самостоятельная работа (1–8)

1. № 1. A: старт 8, множитель 2; Б: старт 5, множитель 3. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
2. № 2. A: старт 12, множитель 2; Б: старт 7, множитель 3. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
3. № 3. A: старт 6, множитель 3; Б: старт 18, множитель 2. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
4. № 4. A: старт 16, множитель 3/2; Б: старт 7, множитель 2. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
5. № 5. A: старт 9, множитель 2; Б: старт 4, множитель 3. Обе программы работают 6 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
6. № 6. A: старт 20, множитель 3/2; Б: старт 9, множитель 2. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
7. № 7. A: старт 10, множитель 3; Б: старт 28, множитель 2. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
8. № 8. A: старт 32, множитель 3/2; Б: старт 9, множитель 3. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.

Вариант II: проверочная работа (9–16)

Во втором варианте встречаются дробные коэффициенты роста: например, при q=3/2 новый объём равен полутора предыдущим. Это не обязательно число неделимых предметов: работайте с условными единицами производительности.

9. № 9. A: старт 7, множитель 3; Б: старт 18, множитель 2. Обе программы работают 6 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
10. № 10. A: старт 24, множитель 3/2; Б: старт 8, множитель 2. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
11. № 11. A: старт 25, множитель 2; Б: старт 10, множитель 3. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
12. № 12. A: старт 12, множитель 3; Б: старт 36, множитель 2. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
13. № 13. A: старт 40, множитель 3/2; Б: старт 11, множитель 2. Обе программы работают 6 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
14. № 14. A: старт 6, множитель 3; Б: старт 17, множитель 2. Обе программы работают 4 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
15. № 15. A: старт 15, множитель 2; Б: старт 8, множитель 3. Обе программы работают 5 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.
16. № 16. A: старт 28, множитель 3/2; Б: старт 18, множитель 2. Обе программы работают 6 этапов. Сравните накопленные результаты и последние этапы; объясните, совпадает ли порядок двух сравнений.

Подробный учительский ключ

1. 1. S(A)=120, S(Б)=200, значит накопленный итог A < Б. На этапе 4: A=64, Б=135; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
2. 2. S(A)=372, S(Б)=847, значит накопленный итог A < Б. На этапе 5: A=192, Б=567; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
3. 3. S(A)=240, S(Б)=270, значит накопленный итог A < Б. На этапе 4: A=162, Б=144; сравнение последних этапов: A > Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
4. 4. S(A)=211, S(Б)=217, значит накопленный итог A < Б. На этапе 5: A=81, Б=112; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
5. 5. S(A)=567, S(Б)=1456, значит накопленный итог A < Б. На этапе 6: A=288, Б=972; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
6. 6. S(A)=325/2, S(Б)=135, значит накопленный итог A > Б. На этапе 4: A=135/2, Б=72; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
7. 7. S(A)=1210, S(Б)=868, значит накопленный итог A > Б. На этапе 5: A=810, Б=448; сравнение последних этапов: A > Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
8. 8. S(A)=260, S(Б)=360, значит накопленный итог A < Б. На этапе 4: A=108, Б=243; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
9. 9. S(A)=2548, S(Б)=1134, значит накопленный итог A > Б. На этапе 6: A=1701, Б=576; сравнение последних этапов: A > Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
10. 10. S(A)=633/2, S(Б)=248, значит накопленный итог A > Б. На этапе 5: A=243/2, Б=128; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
11. 11. S(A)=375, S(Б)=400, значит накопленный итог A < Б. На этапе 4: A=200, Б=270; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
12. 12. S(A)=1452, S(Б)=1116, значит накопленный итог A > Б. На этапе 5: A=972, Б=576; сравнение последних этапов: A > Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
13. 13. S(A)=3325/4, S(Б)=693, значит накопленный итог A > Б. На этапе 6: A=1215/4, Б=352; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
14. 14. S(A)=240, S(Б)=255, значит накопленный итог A < Б. На этапе 4: A=162, Б=136; сравнение последних этапов: A > Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
15. 15. S(A)=465, S(Б)=968, значит накопленный итог A < Б. На этапе 5: A=240, Б=648; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.
16. 16. S(A)=4655/8, S(Б)=1134, значит накопленный итог A < Б. На этапе 6: A=1701/8, Б=576; сравнение последних этапов: A < Б. Проверка: Sₙ−Sₙ₋₁=aₙ и каждое новое значение больше предыдущего.

Мини-проверка правильности модели

1. При q=2 за 5 этапов ученик умножил a₁ на 2⁵, чтобы найти значение пятого этапа. Исправьте показатель.
2. Сумма четырёх этапов при a₁=10,q=3 не может быть равна 10+30+90. Какое слагаемое потеряно и какова полная сумма?
3. Если за 4 этапа накоплено 120 единиц, можно ли без иных условий узнать коэффициент q?
4. Программа с q=3/2 может дать дробное значение на отдельном этапе. Допустима ли такая модель для абстрактного показателя и для числа целых коробок?

Разбор завершающих вопросов

1. Пятый этап имеет степень 4: a₅=a₁·2⁴=16a₁; степень 5 относится к шестому этапу.
2. Потерян четвёртый этап 270; сумма 10+30+90+270=400.
3. Нет: без начального значения a₁ одинаковую сумму могут давать разные q. Нужно ещё хотя бы одно условие.
4. Для абстрактного показателя — да. Для количества неделимых коробок дробный результат противоречит смыслу и потребует изменения модели или дополнительного правила округления, которое нельзя выбирать произвольно.

Критерии проверки: за каждый пункт отдельно оценивайте правильную модель, точную сумму, значение последнего этапа и две независимые интерпретации сравнений. Бесполезно округлять суммы перед сравнением: для близких результатов точные дроби надёжнее.