Сравнение двух квадратичных графиков по вершине и одной точке — упражнения разной сложности, 9 класс

Алгебра · 9 класс · MATH-1608

Определяем коэффициент параболы по вершине и одной точке, а затем сравниваем два графика в выбранной абсциссе. Здесь важно не путать близость ветвей к оси симметрии с высотой вершины.

Задача-наблюдение

У графиков A и B одна вершина (1; −2). Точка A: (3; 6), точка B: (3; 2). По формуле y = a(x − 1)² − 2 получаем a_A = (6 + 2)/4 = 2, a_B = (2 + 2)/4 = 1. Обе ветви направлены вверх, но при одинаковом удалении от оси график A поднимается вдвое быстрее.

Сформулируйте правило: a = (y₀ − k)/(x₀ − h)² для вершины (h; k) и точки (x₀; y₀), если x₀ ≠ h. Знак a задаёт направление ветвей, а |a| — крутизну в сравнении парабол при одинаковом горизонтальном удалении от своих осей.

Контрпример к фразе «у графика с большим |a| всегда выше значение y»: y = −3x² и y = −x² при x = 2 дают −12 и −4. Большее |a| вовсе не означает большую ординату: знак важен.

Лаборатория сравнения: 14 заданий

Работайте в парах: один ученик восстанавливает две формулы, второй независимо вычисляет значения в контрольной абсциссе. Важно каждый раз указать, почему исходная точка не совпадает по x с вершиной.

1. 1. График A: вершина (0; 0), точка (2; 4). График B: вершина (0; 0), точка (1; 2). Восстановите формулы и сравните значения при x = 3.
2. 2. График A: вершина (1; 2), точка (3; −2). График B: вершина (1; 2), точка (2; 0). Восстановите формулы и сравните значения при x = 0.
3. 3. График A: вершина (−1; 1), точка (1; 9). График B: вершина (2; 1), точка (4; 5). Восстановите формулы и сравните значения при x = 0.
4. 4. График A: вершина (0; −3), точка (2; 1). График B: вершина (0; 1), точка (2; 5). Восстановите формулы и сравните значения при x = 2.
5. 5. График A: вершина (2; 0), точка (3; −2). График B: вершина (2; 0), точка (4; 4). Восстановите формулы и сравните значения при x = 4.
6. 6. График A: вершина (−2; 4), точка (0; 8). График B: вершина (1; −1), точка (2; 1). Восстановите формулы и сравните значения при x = 0.
7. 7. График A: вершина (3; 2), точка (4; 4). График B: вершина (−1; 2), точка (0; 1). Восстановите формулы и сравните значения при x = 2.

Продолжение: случаи разных вершин и направлений

1. 8. График A: вершина (0; 1), точка (3; −8). График B: вершина (2; 1), точка (4; −3). Восстановите формулы и сравните значения при x = 1.
2. 9. График A: вершина (1; 0), точка (2; 3). График B: вершина (1; 0), точка (3; 12). Восстановите формулы и сравните значения при x = −1.
3. 10. График A: вершина (−1; −2), точка (1; 2). График B: вершина (−1; −2), точка (1; −6). Восстановите формулы и сравните значения при x = 2.
4. 11. График A: вершина (2; −1), точка (3; 1). График B: вершина (−2; −1), точка (0; 7). Восстановите формулы и сравните значения при x = 0.
5. 12. График A: вершина (0; 3), точка (2; −5). График B: вершина (0; −1), точка (2; −9). Восстановите формулы и сравните значения при x = 1.
6. 13. График A: вершина (1; 1), точка (3; 5). График B: вершина (2; 2), точка (4; −2). Восстановите формулы и сравните значения при x = 0.
7. 14. График A: вершина (−3; 0), точка (−1; 8). График B: вершина (1; 0), точка (3; −8). Восстановите формулы и сравните значения при x = 2.

Особые случаи и проверка правила

Точка над вершиной. Если данная точка имеет x₀ = h и y₀ ≠ k, условие противоречиво: ни одна парабола с вершиной (h; k) не проходит через неё. Если x₀ = h и y₀ = k, одной такой точки недостаточно, чтобы определить a: подойдёт любое ненулевое a.

Совпадение графиков. Равные вершины и одинаковые a определяют одну и ту же квадратичную функцию. Но одинаковое значение y в единственной контрольной точке ещё не доказывает совпадения функций на всей числовой прямой.

Одинаковая ось не означает одинаковое положение. Графики с общей осью x = h могут иметь разные вершины по высоте; поэтому утверждения «уже» и «выше» следует проверять по отдельности. Самый надёжный способ — вычислить оба значения в требуемом x.

Подробный ключ

1. 1. a_A = (4 − (0))/(2 − (0))² = 1; a_B = (2 − (0))/(1 − (0))² = 2. A: y = (x)²; B: y = 2(x)². При x = 3 имеем 9 и 18 — B выше A.
2. 2. a_A = (−2 − (2))/(3 − (1))² = −1; a_B = (0 − (2))/(2 − (1))² = −2. A: y = −(x − 1)² + 2; B: y = −2(x − 1)² + 2. При x = 0 имеем 1 и 0 — A выше B.
3. 3. a_A = (9 − (1))/(1 − (−1))² = 2; a_B = (5 − (1))/(4 − (2))² = 1. A: y = 2(x + 1)² + 1; B: y = (x − 2)² + 1. При x = 0 имеем 3 и 5 — B выше A.
4. 4. a_A = (1 − (−3))/(2 − (0))² = 1; a_B = (5 − (1))/(2 − (0))² = 1. A: y = (x)² − 3; B: y = (x)² + 1. При x = 2 имеем 1 и 5 — B выше A.
5. 5. a_A = (−2 − (0))/(3 − (2))² = −2; a_B = (4 − (0))/(4 − (2))² = 1. A: y = −2(x − 2)²; B: y = (x − 2)². При x = 4 имеем −8 и 4 — B выше A.
6. 6. a_A = (8 − (4))/(0 − (−2))² = 1; a_B = (1 − (−1))/(2 − (1))² = 2. A: y = (x + 2)² + 4; B: y = 2(x − 1)² − 1. При x = 0 имеем 8 и 1 — A выше B.
7. 7. a_A = (4 − (2))/(4 − (3))² = 2; a_B = (1 − (2))/(0 − (−1))² = −1. A: y = 2(x − 3)² + 2; B: y = −(x + 1)² + 2. При x = 2 имеем 4 и −7 — A выше B.
8. 8. a_A = (−8 − (1))/(3 − (0))² = −1; a_B = (−3 − (1))/(4 − (2))² = −1. A: y = −(x)² + 1; B: y = −(x − 2)² + 1. При x = 1 имеем 0 и 0 — высоты равны.
9. 9. a_A = (3 − (0))/(2 − (1))² = 3; a_B = (12 − (0))/(3 − (1))² = 3. A: y = 3(x − 1)²; B: y = 3(x − 1)². При x = −1 имеем 12 и 12 — высоты равны.
10. 10. a_A = (2 − (−2))/(1 − (−1))² = 1; a_B = (−6 − (−2))/(1 − (−1))² = −1. A: y = (x + 1)² − 2; B: y = −(x + 1)² − 2. При x = 2 имеем 7 и −11 — A выше B.
11. 11. a_A = (1 − (−1))/(3 − (2))² = 2; a_B = (7 − (−1))/(0 − (−2))² = 2. A: y = 2(x − 2)² − 1; B: y = 2(x + 2)² − 1. При x = 0 имеем 7 и 7 — высоты равны.
12. 12. a_A = (−5 − (3))/(2 − (0))² = −2; a_B = (−9 − (−1))/(2 − (0))² = −2. A: y = −2(x)² + 3; B: y = −2(x)² − 1. При x = 1 имеем 1 и −3 — A выше B.
13. 13. a_A = (5 − (1))/(3 − (1))² = 1; a_B = (−2 − (2))/(4 − (2))² = −1. A: y = (x − 1)² + 1; B: y = −(x − 2)² + 2. При x = 0 имеем 2 и −2 — A выше B.
14. 14. a_A = (8 − (0))/(−1 − (−3))² = 2; a_B = (−8 − (0))/(3 − (1))² = −2. A: y = 2(x + 3)²; B: y = −2(x − 1)². При x = 2 имеем 50 и −2 — A выше B.

После решения: объясните свой выбор

Почему нельзя делить на (x₀ − h)², если x₀ = h? Почему знак коэффициента определяет направление ветвей, но не обязательно, какая парабола выше в данной точке? Что изменится, если вместо x = t взять x = h? Эти вопросы полезно обсудить после сверки чисел.

Критерий: для каждого задания 1 балл за формулу A, 1 балл за формулу B, 1 балл за сравнительную подстановку с выводом. Если ординаты совпадают, вывод должен быть именно «в этой точке равны», а не «графики совпадают».

Карточка MATH-1608. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.