Проверка знака тригонометрической величины в задаче с высотой недоступного объекта — математический практикум для 9 класса

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1662

Цель: выбирать знак тангенса в модели наблюдения за недоступным объектом, различать положительную высоту и ориентированный перепад уровней.

Разобранная задача: знак важнее величины

Геодезист находится на площадке на высоте 10 м над землёй у основания объекта. Горизонтальное расстояние до цели — 7 м. Линия визирования проходит ниже горизонта на 45°. Если ориентированные углы считать положительными вверх и отрицательными вниз, то tg(−45°)=−1. Высота точки цели над землёй: H=10+7·(−1)=3 м. Ошибка — подставить +1 и получить 17 м. При этом сам объект не имеет «отрицательной высоты»: отрицателен лишь перепад относительно наблюдателя.

Основная модель: H = h₀ + d·tg α. Здесь d — именно горизонтальное расстояние в метрах, h₀ — высота точки наблюдения над тем же уровнем отсчёта, α — ориентированный угол вверх (+) или вниз (−). Если показан только острый угол наклона без знака, в формуле отдельно выбирайте + или − по направлению визирования.

Поменяли исходное условие: обратная проверка

Наблюдатель с площадки 8 м видит нижнюю точку объекта под углом падения 45° на расстоянии 5 м. Рассчитываем H=8−5=3 м; обратная проверка: (H−8)/5=−1, значит tg α=−1 и α=−45°. Не заменяйте «высота наблюдателя» на расстояние до объекта: они относятся к разным катетам.

Практикум: 14 независимых измерений

Во всех задачах основание объекта и вертикальная отметка наблюдателя отсчитываются от одного горизонтального уровня. Пользуйтесь tg30°≈0,5774, tg45°=1, tg60°≈1,7321. Сначала напишите знак, потом формулу, затем ответ с единицей измерения. Для 7-го и 8-го примеров дополнительно сравните, насколько поменяется высота при увеличении расстояния.

1. 1. Расстояние по горизонтали 8 м, уровень прибора 1,5 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 45° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
2. 2. Расстояние по горизонтали 12 м, уровень прибора 1,7 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 30° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
3. 3. Расстояние по горизонтали 9 м, уровень прибора 1,6 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 60° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
4. 4. Расстояние по горизонтали 7 м, уровень прибора 10,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 45° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
5. 5. Расстояние по горизонтали 12 м, уровень прибора 16,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 30° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
6. 6. Расстояние по горизонтали 5 м, уровень прибора 8,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 45° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
7. 7. Расстояние по горизонтали 15 м, уровень прибора 1,6 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 30° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
8. 8. Расстояние по горизонтали 20 м, уровень прибора 1,5 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 45° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
9. 9. Расстояние по горизонтали 6 м, уровень прибора 17,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 60° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
10. 10. Расстояние по горизонтали 10 м, уровень прибора 15,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 45° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
11. 11. Расстояние по горизонтали 4 м, уровень прибора 2,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 60° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
12. 12. Расстояние по горизонтали 18 м, уровень прибора 20,0 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вниз под углом 30° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
13. 13. Расстояние по горизонтали 6 м, уровень прибора 1,7 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 30° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.
14. 14. Расстояние по горизонтали 12 м, уровень прибора 1,5 м относительно земли под объектом, линия визирования направлена вверх под углом 60° к горизонту. Определите знак tg ориентированного угла и высоту цели над землёй; округлите до 0,1 м.

Найдите ошибку: две проверки метода

1. 15. Ученик пишет для линии визирования вниз: «Раз tg отрицателен, высота здания обязательно отрицательна». Опровергните на числах 8 м, 5 м и 45°.
2. 16. Ученик вычислил высоту по формуле H = h₀ + L·tg α, где L — наклонная длина луча визирования. Почему ответ недостоверен? Исправьте модель.

Ключ с вычислениями

1. 1. tg имеет положительный знак; H = 1,5 + 8·tg 45° ≈ 9,5 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
2. 2. tg имеет положительный знак; H = 1,7 + 12·tg 30° ≈ 8,6 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
3. 3. tg имеет положительный знак; H = 1,6 + 9·tg 60° ≈ 17,2 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
4. 4. tg имеет отрицательный знак; H = 10,0 − 7·tg 45° ≈ 3,0 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
5. 5. tg имеет отрицательный знак; H = 16,0 − 12·tg 30° ≈ 9,1 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
6. 6. tg имеет отрицательный знак; H = 8,0 − 5·tg 45° ≈ 3,0 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
7. 7. tg имеет положительный знак; H = 1,6 + 15·tg 30° ≈ 10,3 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
8. 8. tg имеет положительный знак; H = 1,5 + 20·tg 45° ≈ 21,5 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
9. 9. tg имеет отрицательный знак; H = 17,0 − 6·tg 60° ≈ 6,6 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
10. 10. tg имеет отрицательный знак; H = 15,0 − 10·tg 45° ≈ 5,0 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
11. 11. tg имеет положительный знак; H = 2,0 + 4·tg 60° ≈ 8,9 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
12. 12. tg имеет отрицательный знак; H = 20,0 − 18·tg 30° ≈ 9,6 м. Перепад высот отрицателен; сама высота объекта положительна.
13. 13. tg имеет положительный знак; H = 1,7 + 6·tg 30° ≈ 5,2 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
14. 14. tg имеет положительный знак; H = 1,5 + 12·tg 60° ≈ 22,3 м. Перепад высот положителен; сама высота объекта положительна.
15. 15. Неверно: H=8−5·1=3 м > 0. Отрицательна разность H−h₀, а не абсолютная высота.
16. 16. Для тангенса требуется горизонтальный катет d, не гипотенуза L. Если известны L и угол, применяют H=h₀+L·sin α; либо вычисляют d=L·cos α, после чего H=h₀+d·tg α.

Самоконтроль. После расчёта верните высоту в формулу: (H−h₀)/d должно совпасть с положительным или отрицательным тангенсом заданного угла. При повороте луча ниже горизонта верхняя точка может оставаться выше земли — это не противоречие. Если результат H оказался ниже нулевой отметки, проверьте физическую ситуацию и условие: возможно, объект находится ниже выбранного уровня, а возможно, неправильно указан знак.