Восстановление угла по отношению при заданной гипотенузе и катете: мини-практикум с ответами, 9 класс

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1663

Цель: восстанавливать острый угол по известной гипотенузе и нужному катету, проверяя существование треугольника и правильность округления.

Три контрольных вопроса

1. 1. Противолежащий катет 3 см, гипотенуза 5 см: найдите α.
2. 2. Прилежащий катет 4 см, гипотенуза 5 см: найдите тот же α.
3. 3. «Катет 6 см, гипотенуза 5 см». Существует ли такой прямоугольный треугольник?

Карточки 4–12

Обозначение α всегда относится к одному из острых углов прямоугольного треугольника. Если дан противолежащий катет, используйте синус, а если прилежащий — косинус. Сначала проверьте неравенство 0 < катет < гипотенуза. В заданиях 4–11 округлите найденный угол до десятых долей градуса.

1. 4. Гипотенуза 10 см, противолежащий катет к искомому углу α равен 5 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
2. 5. Гипотенуза 10 см, прилежащий катет к искомому углу α равен 5 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
3. 6. Гипотенуза 17 см, противолежащий катет к искомому углу α равен 8 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
4. 7. Гипотенуза 17 см, прилежащий катет к искомому углу α равен 15 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
5. 8. Гипотенуза 25 см, противолежащий катет к искомому углу α равен 7 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
6. 9. Гипотенуза 25 см, прилежащий катет к искомому углу α равен 24 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
7. 10. Гипотенуза 13 см, противолежащий катет к искомому углу α равен 12 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
8. 11. Гипотенуза 13 см, прилежащий катет к искомому углу α равен 5 см. Найдите α с точностью до 0,1° и назовите отношение.
9. 12. Гипотенуза 9 см, катет 9 см. Может ли угол напротив катета быть острым углом невырожденного прямоугольного треугольника?

Ответы: короткий ключ

1. 1. sin α=3/5, α≈36,9°. Другой катет равен 4 см.
2. 2. cos α=4/5, α≈36,9°. Результат совпал с первым заданием.
3. 3. Нет: катет не может превышать гипотенузу. Отношение 6/5 > 1, угол не существует.
4. 4. sin α=5/10, поэтому α≈30,0°. Проверка: 0,500 лежит между 0 и 1.
5. 5. cos α=5/10, поэтому α≈60,0°. Проверка: 0,500 лежит между 0 и 1.
6. 6. sin α=8/17, поэтому α≈28,1°. Проверка: 0,471 лежит между 0 и 1.
7. 7. cos α=15/17, поэтому α≈28,1°. Проверка: 0,882 лежит между 0 и 1.
8. 8. sin α=7/25, поэтому α≈16,3°. Проверка: 0,280 лежит между 0 и 1.
9. 9. cos α=24/25, поэтому α≈16,3°. Проверка: 0,960 лежит между 0 и 1.
10. 10. sin α=12/13, поэтому α≈67,4°. Проверка: 0,923 лежит между 0 и 1.
11. 11. cos α=5/13, поэтому α≈67,4°. Проверка: 0,385 лежит между 0 и 1.
12. 12. Нет. Острый угол потребовал бы положительного второго катета; по теореме Пифагора он равнялся бы 0. Значение arcsin(1)=90° не является острым углом искомого треугольника.

Почему некоторые значения запрещены

В прямоугольном треугольнике гипотенуза строго длиннее каждого катета, а оба острых угла строго между 0° и 90°. Поэтому ни отношение больше единицы, ни нулевой второй катет нельзя принимать без проверки геометрической модели. Символ arcsin возвращает числовое значение угла, но сам по себе не гарантирует существование треугольника с указанными положительными сторонами.

Обратная проверка: для найденного α≈36,9° значение sin α≈0,600, а cos α≈0,800. Если случайно поменять прилежащий катет и противолежащий, получите дополнительный угол ≈53,1°, а не тот, который просили найти. Разница — не ошибка калькулятора, а ошибка выбора отношения.