Восстановление угла по отношению для двух дополнительных острых углов — рабочий лист для 9 класса

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1664

Цель: связывать два острых угла прямоугольного треугольника через равенства sin α=cos β и cos α=sin β, решая два независимых печатных варианта.

Памятка перед печатью

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов α и β равна 90°. Их называют дополнительными до 90°. Смена выбранного угла меняет роль катетов: если sin α=a/c, то cos β=a/c. Аналогично cos α=b/c=sin β. Для ответа нужно указать оба угла, а не только один; вычисления выполняйте с точностью до 0,1°.

Проверка существования обязательна: a²+b²=c², c — гипотенуза. На листе есть два самостоятельных варианта. В варианте I дан катет, противоположный углу α, в варианте II указан катет, прилежащий к α; это разные способы восстановления одного и того же типа пары углов.

Вариант I — от синуса первого угла к косинусу второго

1. 1. Противолежащий углу α катет 3 см, гипотенуза 5 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
2. 2. Противолежащий углу α катет 5 см, гипотенуза 13 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
3. 3. Противолежащий углу α катет 8 см, гипотенуза 17 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
4. 4. Противолежащий углу α катет 7 см, гипотенуза 25 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
5. 5. Противолежащий углу α катет 20 см, гипотенуза 29 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
6. 6. Противолежащий углу α катет 9 см, гипотенуза 41 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
7. 7. Противолежащий углу α катет 12 см, гипотенуза 37 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.
8. 8. Противолежащий углу α катет 11 см, гипотенуза 61 см. Найдите α и β; объясните, чему равен cos β.

Вариант II — от косинуса к синусу дополнительного угла

1. 9. Прилежащий к α катет 6 см, гипотенуза 10 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
2. 10. Прилежащий к α катет 10 см, гипотенуза 26 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
3. 11. Прилежащий к α катет 16 см, гипотенуза 34 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
4. 12. Прилежащий к α катет 14 см, гипотенуза 50 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
5. 13. Прилежащий к α катет 40 см, гипотенуза 58 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
6. 14. Прилежащий к α катет 18 см, гипотенуза 82 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
7. 15. Прилежащий к α катет 24 см, гипотенуза 74 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.
8. 16. Прилежащий к α катет 22 см, гипотенуза 122 см. Найдите пару углов и сравните cos α и sin β.

Объясните без калькулятора

1. 17. Если α=30°, найдите β, sin α, cos β; объясните совпадение значений через катеты.
2. 18. Ученик написал «sin α=sin β, так как α+β=90°». Обязательно ли это верно? Если нет — когда верно и приведите контрпример.

Ключ для учителя

Решения варианта I

1. 1. sin α=3/5; α≈36,9°, β≈53,1°. cos β=3/5; второй катет 4 см по теореме Пифагора.
2. 2. sin α=5/13; α≈22,6°, β≈67,4°. cos β=5/13; второй катет 12 см по теореме Пифагора.
3. 3. sin α=8/17; α≈28,1°, β≈61,9°. cos β=8/17; второй катет 15 см по теореме Пифагора.
4. 4. sin α=7/25; α≈16,3°, β≈73,7°. cos β=7/25; второй катет 24 см по теореме Пифагора.
5. 5. sin α=20/29; α≈43,6°, β≈46,4°. cos β=20/29; второй катет 21 см по теореме Пифагора.
6. 6. sin α=9/41; α≈12,7°, β≈77,3°. cos β=9/41; второй катет 40 см по теореме Пифагора.
7. 7. sin α=12/37; α≈18,9°, β≈71,1°. cos β=12/37; второй катет 35 см по теореме Пифагора.
8. 8. sin α=11/61; α≈10,4°, β≈79,6°. cos β=11/61; второй катет 60 см по теореме Пифагора.

Решения варианта II

1. 9. cos α=6/10; α≈53,1°, β≈36,9°. sin β=cos α=6/10; другой катет 8 см.
2. 10. cos α=10/26; α≈67,4°, β≈22,6°. sin β=cos α=10/26; другой катет 24 см.
3. 11. cos α=16/34; α≈61,9°, β≈28,1°. sin β=cos α=16/34; другой катет 30 см.
4. 12. cos α=14/50; α≈73,7°, β≈16,3°. sin β=cos α=14/50; другой катет 48 см.
5. 13. cos α=40/58; α≈46,4°, β≈43,6°. sin β=cos α=40/58; другой катет 42 см.
6. 14. cos α=18/82; α≈77,3°, β≈12,7°. sin β=cos α=18/82; другой катет 80 см.
7. 15. cos α=24/74; α≈71,1°, β≈18,9°. sin β=cos α=24/74; другой катет 70 см.
8. 16. cos α=22/122; α≈79,6°, β≈10,4°. sin β=cos α=22/122; другой катет 120 см.

Разбор пунктов 17–18

17. β=60°, sin 30°=cos 60°=1/2. Один и тот же катет противолежит углу 30° и прилежит к углу 60°. 18. Неверно: при α=30°, β=60° имеем sin α=1/2, sin β=√3/2. Равенство возможно при α=β=45°; верная общая формула — sin α=cos β.

При оценке решений отдельно проверяйте, что ученик правильно назвал известный катет, не поменял местами α и β и записал сумму найденных углов 90°. Различия менее 0,1° после округления допустимы. Если исходное отношение больше 1, ни одно из формальных «значений угла» не подходит к невырожденному прямоугольному треугольнику.

Подробная проверка двух противоположных способов

Разберите пункт 1 варианта I как образец записи в тетради: a=3, c=5, поэтому sin α=3/5=0,6. Отсюда α≈36,9°, β≈53,1°. Проверим через другой угол: cos β=3/5≈0,6, а sin β=4/5=0,8. Углы сложились в 90°, и обе дроби соответствуют сторонам одного треугольника. Рисунок не обязан быть выполнен в масштабе, но подписи «напротив α» и «возле α» обязательны.

Для пункта 9 варианта II прилежащий к α катет равен 6 см, гипотенуза 10 см. Значит cos α=6/10=0,6, α≈53,1°. Дополнительный β≈36,9°; при переходе к β этот же катет становится противолежащим, поэтому sin β=6/10. Важно не пытаться взять β=180°−α: острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают именно 90°, а не 180°.

Критерии проверки: 1 балл за правильное отношение, 1 балл за верный угол α, 1 балл за β и 1 балл за объяснение равенства синуса одного угла косинусу другого. Если ученик вычислил дополнительный угол верно, но перепутал обозначения катетов, ошибка относится к модели, а не к округлению. Попросите его проверить результат рисунком с прямым углом.