Восстановление угла по отношению в задаче с высотой недоступного объекта: задачи с решениями для 9 класса

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1665

Цель: восстанавливать угол подъёма к недоступному объекту по разности высот и горизонтальному расстоянию и проверять результат обратной подстановкой.

Наблюдение: одинаковый угол при разном масштабе

В школьном геодезическом опыте до основания недоступного объекта можно измерить горизонтальное расстояние d, а высоту его верхней точки H взять из паспорта сооружения или из контрольных данных. Наблюдатель держит прибор на высоте h₀ над уровнем основания. Нужно восстановить угол подъёма α из прямоугольного треугольника с катетами H−h₀ и d: tg α=(H−h₀)/d. Для подъёма требуется H>h₀ и d>0.

Для столба H=9,5 м и высоты глаз 1,5 м перепад равен 8 м. Если d=6 м, то tg α=8/6=4/3, α≈53,1°. При удвоении и высоты перепада, и горизонтального расстояния отношение остаётся 4/3 — угол не меняется. Это полезная проверка: значение зависит от отношения катетов, а не отдельно от высоты объекта.

Гипотеза и контрпример

Гипотеза: «Если у двух наблюдателей одинаковое значение (H−h₀)/d, их углы подъёма одинаковы». Для острых углов это верно: тангенс возрастает на интервале 0°–90°. Но похожее утверждение «если равна высота объекта H, то углы одинаковы» неверно. Например, один и тот же объект высотой 11,5 м при h₀=1,5 м виден с 10 м под углом 45°, а с 20 м — под углом arctg(1/2)≈26,6°.

Полевые карточки: восстановите угол подъёма

В заданиях 1–14 указаны расстояние до основания d, высота верхней точки H и уровень наблюдателя h₀. Найдите угол α с округлением до 0,1°. В ответе покажите вертикальный перепад в метрах и отношение катетов; измерения высоты и расстояния выполнены в одних единицах.

1. 1. d=8 м, H=7,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
2. 2. d=12 м, H=6,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
3. 3. d=15 м, H=9,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
4. 4. d=10 м, H=11,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
5. 5. d=9 м, H=13,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
6. 6. d=16 м, H=13,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
7. 7. d=21 м, H=21,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
8. 8. d=25 м, H=8,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
9. 9. d=4 м, H=6,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
10. 10. d=12 м, H=13,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
11. 11. d=24 м, H=8,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
12. 12. d=10 м, H=6,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
13. 13. d=18 м, H=10,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.
14. 14. d=30 м, H=13,5 м, h₀=1,5 м. Определите α и объясните, почему используется именно перепад высот.

Исследовательские вопросы

1. 15. Для объекта высотой 21,5 м при h₀=1,5 м расстояние удвоили: вместо 10 м стало 20 м. Был ли угол 45° прежде и каким стал сейчас? Обоснуйте.
2. 16. Можно ли считать α=arctg(H/d) без поправки на высоту глаз, если прибор стоит на высоте 1,5 м? Покажите ошибку на H=11,5 м, d=10 м.
3. 17. Два человека с разными уровнями глаз h₀ наблюдают один объект с того же горизонтального расстояния. Обязаны ли их углы совпасть? Объясните без вычислителя.

Решения и обратная проверка

1. 1. Перепад 6,0 м; tg α=6,0/8≈0,750; α≈36,9°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
2. 2. Перепад 5,0 м; tg α=5,0/12≈0,417; α≈22,6°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
3. 3. Перепад 8,0 м; tg α=8,0/15≈0,533; α≈28,1°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
4. 4. Перепад 10,0 м; tg α=10,0/10≈1,000; α≈45,0°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
5. 5. Перепад 12,0 м; tg α=12,0/9≈1,333; α≈53,1°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
6. 6. Перепад 12,0 м; tg α=12,0/16≈0,750; α≈36,9°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
7. 7. Перепад 20,0 м; tg α=20,0/21≈0,952; α≈43,6°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
8. 8. Перепад 7,0 м; tg α=7,0/25≈0,280; α≈15,6°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
9. 9. Перепад 5,0 м; tg α=5,0/4≈1,250; α≈51,3°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
10. 10. Перепад 12,0 м; tg α=12,0/12≈1,000; α≈45,0°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
11. 11. Перепад 7,0 м; tg α=7,0/24≈0,292; α≈16,3°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
12. 12. Перепад 5,0 м; tg α=5,0/10≈0,500; α≈26,6°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
13. 13. Перепад 9,0 м; tg α=9,0/18≈0,500; α≈26,6°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.
14. 14. Перепад 12,0 м; tg α=12,0/30≈0,400; α≈21,8°. Проверка: tg найденного угла возвращает отношение вертикального и горизонтального катетов.

15. До изменения tg α=(21,5−1,5)/10=2, следовательно α≈63,4°, а не 45°. После удвоения d tg α=20/20=1, значит α=45°. 16. Неправильный расчёт даёт arctg(1,15)≈49,0°, правильный — arctg((11,5−1,5)/10)=45°. 17. Не обязаны: при одинаковых H и d перепад H−h₀ различается, а значит различаются тангенсы и углы.

У каждого верного решения есть геометрическая самопроверка: α больше нуля и меньше 90°, когда H>h₀ и d>0; увеличение H при фиксированных d и h₀ увеличивает угол, увеличение d при фиксированном перепаде уменьшает его. Если верх объекта ниже глаз, линия направлена вниз: это уже угол понижения, и формулу для угла подъёма применять без изменения смысла нельзя.

Методические ловушки и корректная работа с измерениями

Первая ловушка — применить формулу tg α=H/d без поправки на высоту прибора. Для короткой дистанции 4 м даже поправка 1,5 м заметно влияет на угол; поэтому уровень глаз нельзя игнорировать «для простоты». Вторая ловушка — вместо горизонтального расстояния подставить расстояние по лучу до вершины, то есть гипотенузу. Тогда получилось бы отношение вертикального катета к гипотенузе, соответствующее синусу, а не тангенсу. Перед расчётом полезно провести вертикаль от вершины объекта до горизонтали глаз наблюдателя.

Третья ловушка связана с единицами: если расстояние от наблюдателя указано в сантиметрах, а высота — в метрах, нужно сначала перевести длины в общую единицу, иначе число под знаком arctg окажется неверным. Тангенс — безразмерное отношение длин. При записи ответа указывайте градусы; «угол 0,75» без пояснения не является окончательным ответом, ведь 0,75 сначала представляет значение тангенса, а не градусную меру.

В реальной ситуации высота верхней точки может быть известна с погрешностью. Тогда найденный угол тоже приближённый: вычисленный до десятых градуса ответ не означает точность реального измерения до 0,1°. Для школьных заданий считаем исходные величины точными, но при обсуждении практического применения желательно различать округление вычислений и погрешность прибора. Если два ученика получили разные углы, сначала сравните вычисленные перепады H−h₀, затем отношения этих перепадов к расстояниям, и лишь после этого проверьте режим градусов на калькуляторе.

Контроль для самостоятельно сформулированного правила: при фиксированном отношении катетов два подобных прямоугольных треугольника имеют равные острые углы. Обратное также верно: при равных углах подъёма отношение перепада высот к горизонтальному расстоянию одинаково. Но одинаковые высоты H не дают подобных треугольников, если отличаются расстояние или уровень глаз. Этот контрпример позволяет отличить математическую закономерность от внешне похожей, но неверной гипотезы.