Поиск неправильной формулы при заданной гипотенузе и катете — задания с разбором, 9 класс

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1666

Цель: находить неверные формулы синуса, косинуса, тангенса и теоремы Пифагора при известной гипотенузе и катете и объяснять каждую ошибку.

Начните с чужой ошибки

В прямоугольном треугольнике относительно острого угла α задан противолежащий катет a, прилежащий катет b и гипотенуза c. Один ученик написал sin α=b/c. Ошибка не в арифметике, а в выборе стороны: правильно sin α=a/c. Ниже найдите ещё пять типичных нарушений и научитесь проверять формулы до вычисления угла.

Памятка: sin α=a/c, cos α=b/c, tg α=a/b, ctg α=b/a; c²=a²+b². Здесь c>a>0 и c>b>0, поэтому 0<sin α<1 и 0<cos α<1. Если α — другой острый угол, катеты поменяются ролями. При поиске ошибки всегда рисуйте схему и подписывайте нужный угол.

Диагностика пяти видов ошибок

1. 1. При a=3, b=4, c=5 ученик записал sin α=4/5. Найдите ошибку.
2. 2. При a=5, b=12, c=13 ученик получил tg α=5/13. Найдите ошибку.
3. 3. При c=17, a=8 ученик вычислил b=√(17²+8²). Исправьте.
4. 4. При a=7, c=25 записано cos α=7/25. Исправьте формулу.
5. 5. При a=9, c=41 ученик вычислил α=arcsin(41/9). Почему так нельзя?

Закрепление: верна ли предложенная формула?

1. 6. Для a=8, b=15, c=17 утверждают sin α=8/17.
2. 7. Для a=5, b=12, c=13 утверждают cos α=12/13.
3. 8. Для a=7, b=24, c=25 утверждают tg α=24/25.
4. 9. Для a=8, b=15, c=17 утверждают ctg α=15/8.
5. 10. Для a=3, b=4, c=5 ученик пишет (sin α)²+(cos α)²=25/25.
6. 11. Для b=12, c=13 ученик пишет a=√(c²−b²)=5.
7. 12. Для невырожденного прямоугольного треугольника с острым α заявлено sin α=1.
8. 13. Для a=5, b=12, c=13 ученик записал c²=a²−b².
9. 14. Для a=3, b=4, c=5 угол α нашли как arccos(3/5).
10. 15. Для двух острых углов того же прямоугольного треугольника α и β заявлено β=90°−α.
11. 16. Для a=20, b=21, c=29 заявлено: sin α&gt;cos α, так как a&gt;b.

Ответы с пояснениями

Исправления 1–5

1. 1. Перепутан прилежащий катет с противолежащим: sin α=3/5; 4/5 — это cos α.
2. 2. Тангенс — отношение катетов, а не катета к гипотенузе: tg α=5/12.
3. 3. По теореме Пифагора b=√(17²−8²)=15; сумма квадратов используется для гипотенузы.
4. 4. 7/25 — синус α. Второй катет b=24, значит cos α=24/25.
5. 5. Деление перевёрнуто: sin α=9/41, α≈12,7°. Значение 41/9 больше 1 и не является синусом действительного угла.

Контрольные пункты 6–16

1. 6. Верно: противолежащий катет делится на гипотенузу.
2. 7. Верно: прилежащий катет 12, гипотенуза 13.
3. 8. Неверно: tg α=7/24. Дробь 24/25 — косинус α.
4. 9. Верно: прилежащий катет / противолежащий =15/8.
5. 10. Верно: 9/25+16/25=25/25=1.
6. 11. Верно: √(169−144)=√25=5.
7. 12. Неверно: sin α=1 соответствует 90°, а α должен быть острым и другой катет положительным.
8. 13. Неверно: 13²=5²+12²=169, а 25−144 отрицательно.
9. 14. Неверно для заданного α: 3/5=sin α. Правильно α=arcsin(3/5)≈36,9°, а arccos(3/5)≈53,1° — дополнительный угол.
10. 15. Верно: α+β=90°.
11. 16. Неверно: a=20&lt;21=b, поэтому sin α=20/29&lt;21/29=cos α.

Как проверить себя за одну минуту

Проверьте три независимых признака: (1) деление на гипотенузу даёт синус или косинус, но не тангенс; (2) теорема Пифагора даёт меньший катет через разность квадратов c² и другого катета; (3) вычисленные sin α и cos α лежат между 0 и 1 и удовлетворяют сумме квадратов 1. Не подставляйте отношение больше 1 в arcsin/arccos, а при несовпадении углов сначала проверьте, какой катет является противолежащим.

Образец развёрнутого анализа неверного решения

Пусть даны катет a=5 см, катет b=12 см, гипотенуза c=13 см. Неудачное решение выглядит так: «α=arcsin(12/13)≈67,4°, потому что 12 — больший катет». Проверка показывает, что больший катет не обязательно противолежит именно выбранному углу: по обозначению a=5 расположен напротив α, поэтому sin α=5/13 и α≈22,6°. Неверный ответ 67,4° является другим острым углом этого же треугольника. Ошибка содержательная: ученик поменял угол, но не заметил этого.

Вторая полезная проверка не требует вычисления угла. Из a=5, b=12, c=13 получаем sin²α+cos²α=(25+144)/169=1. Если ученик ошибочно поставил tg α=5/13, то вычисленное число не совпадёт с правильным отношением 5/12. Для тангенса можно также сравнить значение с частным sin α/cos α: (5/13)/(12/13)=5/12. Так обнаруживается ошибка выбора знаменателя даже без калькулятора.

Необходимо учитывать форму записи вопроса. Если просят назвать неправильную формулу, одного слова «неправильно» недостаточно: напишите верное равенство и объясните, что означают его числитель и знаменатель. Если в условии дан только один катет и гипотенуза, сперва определите другой катет по теореме Пифагора; лишь затем вычисляйте косинус или тангенс. Отрицательная величина под квадратным корнем здесь означает, что заданные длины несовместимы с невырожденным прямоугольным треугольником.