Поиск неверного равенства при применении формул двойного угла — упражнения разной сложности, 10 класс

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1722

Учебная цель: выявлять именно неверные равенства в формулах sin(2α), cos(2α) и аргументированно исправлять их по таблице исходных данных.

Лаборатория формул: вычисление и отбраковка неверных равенств

На учебном стенде записаны значения синуса и косинуса для нескольких углов. Задача не в повторении определений, а в проверке формул двойного угла: sin(2α)=2sin α cos α, cos(2α)=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1. Если ученик ошибается со знаком перед квадратом, это сразу видно на углах, для которых cos(2α) отрицателен.

Угол может быть тупым, поэтому нельзя автоматически считать cos α положительным. Таблица не заменяет доказательства: для неизвестного угла используют формулу, а таблица помогает проверить знак и вычисление на конкретном значении.

Двенадцать заданий по данным таблицы

1. 1. Утверждение: sin(2α)=2sin α для каждого α.
2. 2. Утверждение: cos(2α)=cos²α−sin²α.
3. 3. Утверждение: cos(2α)=1−2cos²α.
4. 4. При α=60° ученик получил cos(120°)=+1/2.
5. 5. Утверждение: sin(2α)=sin²α+cos²α.
6. 6. При α=45° ученик записал sin(90°)=2·(√2/2)²=1.
7. 7. Утверждение: cos(2α)=1−2sin²α.
8. 8. При α=120° заявлено sin(240°)=+√3/2.
9. 9. Восстановите sin α cos α, если sin(2α)=−3/5.
10. 10. Найдите cos(2α), если sin²α=3/4.
11. 11. Найдите cos²α, если cos(2α)=−1/5.
12. 12. При sin α=3/5, cos α=−4/5 ученик получил sin(2α)=24/25.

Маршрут самопроверки

Сначала отметьте только «верно» или «неверно» в заданиях 1–8. Затем найдите в таблице строку, которая опровергает ложное универсальное утверждение. Задания 9–12 выполните символически: формула полезнее случайно угаданного значения. Если ошиблись в пункте 8 или 12, вновь определите четверть исходного и удвоенного углов.

Ответы и исправленные вычисления

1. 1. Неверно: при α=30° слева √3/2, справа 1; пропущен множитель cos α.
2. 2. Верно для всех действительных α.
3. 3. Неверно: должно быть 2cos²α−1.
4. 4. Неверно: cos(120°)=−1/2; cos²60°−sin²60°=1/4−3/4.
5. 5. Неверно: справа всегда 1, но при α=90° слева 0.
6. 6. Верно: 2·1/2=1.
7. 7. Верно как следствие cos²α+sin²α=1.
8. 8. Неверно: синус в III четверти отрицателен, значение −√3/2.
9. 9. sin α cos α=−3/10; поделили обе части на 2.
10. 10. cos(2α)=1−2·3/4=−1/2.
11. 11. 2cos²α−1=−1/5, откуда cos²α=2/5.
12. 12. Неверно: 2·(3/5)·(−4/5)=−24/25.

Нельзя проверять общее тригонометрическое тождество только одним удачным числом: подстановка может подтверждать равенство случайно. Например, неправильная запись sin(2α)=2sin α иногда даёт совпадение при sin α=0, хотя как тождество неверна. Доказательство формулы двойного угла получается из sin(α+α)=sin α cos α+cos α sin α; тем самым понятна роль произведения двух различных функций.

Как отличить случайное совпадение от настоящей формулы

Учитель предложил две записи: sin(2α)=2sin α cos α и sin(2α)=sin α+cos α. Для угла 45° первая даёт 1, а вторая √2. Подобрав особое значение α, можно иногда получить совпадение неверной формулы с верной. Но это не делает неверную запись тождеством: достаточен хотя бы один угол, для которого значения различаются. Наоборот, чтобы доказать формулу для всех углов, нужно использовать известные тождества, а не проверять несколько строк таблицы.

Например, разложим sin(α+α) по формуле синуса суммы. Получим sin α cos α+cos α sin α=2sin α cos α. Доказательство работает независимо от четверти и не требует положительности синуса либо косинуса. А для косинуса раскроем cos(α+α): cos²α−sin²α. Подстановка cos²α=1−sin²α даёт 1−2sin²α. Замена sin²α=1−cos²α даёт 2cos²α−1. Это три записи одного и того же косинуса двойного угла, а не три независимых правила.

Почему удобно одновременно проверять знак и величину

Если α=120°, то sin α=√3/2 положителен, а cos α=−1/2 отрицателен; следовательно, произведение 2sin α cos α отрицательно. Удвоенный угол равен 240° и лежит в третьей четверти, где синус тоже отрицателен. Это обратная проверка без десятичных приближений. Когда знаки не совпадают, ищите прежде всего потерянный минус в cos α. Для α=60° обе исходные функции положительны, поэтому синус двойного угла остаётся положительным, но cos(120°) уже отрицателен: знак косинуса двойного угла нельзя определять по знаку cos α без формулы.

Сравним два способа нахождения cos 120°. По таблице косинус равен −1/2. По выражению cos²60°−sin²60° получаем 1/4−3/4=−1/2. По альтернативному виду 1−2sin²60° получаем 1−2·3/4=−1/2. Три совпадающих результата увеличивают уверенность, но их основание — доказанные тождества. Ошибочная формула 1−2cos²60° дала бы +1/2; так обнаруживается неправильный выбор функции под квадратом.

Что именно объяснять в ответе

Для утверждений 1–8 недостаточно одной пометки «неверно»: приведите правильную формулу, найдите точку, где возникла ошибка, и покажите вычисление. Для пунктов 9–11 используйте преобразование равенства, а не подбор угла по таблице. В пункте 12 знак результата обязан быть отрицательным даже до вычисления точной дроби, потому что заданный синус положителен, а косинус отрицателен. Если ошибка только в знаке, отдельно укажите, какая из двух функций изменила знак.