Поиск неверного равенства при делении на тригонометрическое выражение — самостоятельная работа, 10 класс

Математика, 10 класс. Карточка MATH-1726

Учебная цель: быстро распознавать ложные равенства из-за деления на ноль, ошибки сужения области определения и посторонние корни.

Мини-тест: найдите неверное равенство или запрещённое деление

В каждом пункте выберите «верно» либо «неверно», при необходимости запишите пропущенное ограничение. Для вопросов о решениях проверяйте результат в исходном выражении, а не только в сокращённом. Углы измеряются в радианах, k — любое целое число.

1. 1. sin²x/sin x = sin x при x=0.
2. 2. cos²x/cos x = cos x при cos x ≠ 0.
3. 3. (sin x cos x)/cos x = sin x для всех x.
4. 4. sin(2x)/(2cos x)=sin x при cos x ≠ 0.
5. 5. (1−sin²x)/cos x=cos x при x=π/2.
6. 6. sin x/sin x=1 при sin x≠0.
7. 7. При делении уравнения sin x cos x=0 на sin x теряются все решения sin x=0.
8. 8. Уравнение sin²x/sin x=0 имеет решения x=πk.
9. 9. cos x(sin x−1)/cos x=0 равносильно sin x=1.
10. 10. sin(2x)/(2sin x)=cos x при sin x≠0.
11. 11. При x=π выражение sin x/sin x определено и равно 1.
12. 12. Если после сокращения найден корень, достаточно подставить его в сокращённое выражение.

Баллы и критерии

За каждый пункт — 1 балл за правильную оценку и ещё 1 балл за верно названное основание или ограничение; максимум 24 балла. 21–24: уверенное понимание; 16–20: повторить исключаемые точки; 10–15: вернуться к дробям с синусом и косинусом; 0–9: повторить алгоритм записи ОДЗ перед сокращением. Это критерии именно данного мини-теста, не школьная отметка.

Ключ и разбор спорных ответов

1. 1. Неверно: исходная дробь 0/0 не определена.
2. 2. Верно на записанной ОДЗ.
3. 3. Неверно: при cos x=0 деление запрещено.
4. 4. Верно: формула sin(2x)=2sin x cos x.
5. 5. Неверно: знаменатель cos(π/2)=0.
6. 6. Верно; равенство не распространяется на sin x=0.
7. 7. Верно: делить на sin x нельзя без отдельной ветви.
8. 8. Неверно: все потенциальные нули sin x запрещены, решений нет.
9. 9. Неверно: sin x=1 ⇒ cos x=0, исходная дробь не определена; решений нет.
10. 10. Верно.
11. 11. Неверно: sin π=0.
12. 12. Неверно: обязательна проверка в исходном знаменателе.

Особенно важно различать пункт 6 (верное тождество при явно указанной ОДЗ) и пункт 8 (уравнение, для которого все кандидаты недопустимы). В пункте 9 запись sin x=1 сама по себе имеет решения, но исходное выражение при них не определено. Пропущенная ОДЗ может изменить не только формулировку, но и окончательный ответ «решений нет».