Проверка корня на отрезке при синусе двойного аргумента — упражнения разной сложности, 10 класс

Математика, 10 класс · MATH-1731.

Учебная цель: отбирать все корни sin(2x)=c на отрезке, учитывая деление аргумента и новый период π по переменной x.

Ситуация: вращающийся указатель и двойной угол

Положение учебного указателя описывается моделью y=sin(2x), где x — угол вращения в радианах. Если x увеличился на π, то 2x увеличился на 2π и высота указателя повторилась. Поэтому период по x равен π, а не 2π. Значение y не гарантирует единственную точку: на одном периоде у синуса обычно две позиции.

Каждая строка таблицы — условные данные модели, не физические измерения с погрешностями. По ним выберите корни на указанном замкнутом отрезке. Поскольку аргумент равен 2x, сначала находят все значения 2x, затем делят на 2 как основные углы, так и периодический сдвиг.

Маршрут I: один период

1. sin(2x)=0; x∈[0;π].
2. sin(2x)=1/2; x∈[0;π].
3. sin(2x)=−1/2; x∈[0;π].
4. sin(2x)=1; x∈[0;π].
5. sin(2x)=−1; x∈[0;π].
6. sin(2x)=√2/2; x∈[0;π].

Маршрут II: тот же сигнал в отрицательном обороте

7. sin(2x)=0; x∈[−π;0].
8. sin(2x)=1/2; x∈[−π;0].
9. sin(2x)=−1/2; x∈[−π;0].
10. sin(2x)=1; x∈[−π;0].
11. sin(2x)=−1; x∈[−π;0].
12. sin(2x)=√2/2; x∈[−π;0].

Маршрут III: два полных периода

13. sin(2x)=1/2; x∈[0;2π].
14. sin(2x)=−1/2; x∈[0;2π].

Ключ и обратная проверка

1. 0, π/2, π; общие семейства: x = 0 + πk, k ∈ ℤ, x = π/2 + πk, k ∈ ℤ.
2. π/12, 5π/12; общие семейства: x = π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 5π/12 + πk, k ∈ ℤ.
3. 7π/12, 11π/12; общие семейства: x = −π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 7π/12 + πk, k ∈ ℤ.
4. π/4; общие семейства: x = π/4 + πk, k ∈ ℤ.
5. 3π/4; общие семейства: x = −π/4 + πk, k ∈ ℤ.
6. π/8, 3π/8; общие семейства: x = π/8 + πk, k ∈ ℤ, x = 3π/8 + πk, k ∈ ℤ.
7. −π, −π/2, 0; общие семейства: x = 0 + πk, k ∈ ℤ, x = π/2 + πk, k ∈ ℤ.
8. −11π/12, −7π/12; общие семейства: x = π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 5π/12 + πk, k ∈ ℤ.
9. −5π/12, −π/12; общие семейства: x = −π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 7π/12 + πk, k ∈ ℤ.
10. −3π/4; общие семейства: x = π/4 + πk, k ∈ ℤ.
11. −π/4; общие семейства: x = −π/4 + πk, k ∈ ℤ.
12. −7π/8, −5π/8; общие семейства: x = π/8 + πk, k ∈ ℤ, x = 3π/8 + πk, k ∈ ℤ.
13. π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12; общие семейства: x = π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 5π/12 + πk, k ∈ ℤ.
14. 7π/12, 11π/12, 19π/12, 23π/12; общие семейства: x = −π/12 + πk, k ∈ ℤ, x = 7π/12 + πk, k ∈ ℤ.

Разберём № 2: sin(2x)=1/2 означает 2x=π/6+2πk либо 2x=5π/6+2πk. Деление на 2 даёт x=π/12+πk либо x=5π/12+πk. При k=0 обе точки входят в [0;π], при k=1 находятся уже за пределами. Для проверки подставьте x=5π/12: sin(2·5π/12)=sin(5π/6)=1/2.

Невозможно заменить уравнение sin(2x)=−1/2 только одной ветвью x=7π/12+πk: вторая ветвь x=−π/12+πk также обязательна. На [0;π] это 7π/12 и 11π/12 соответственно. Эти два угла имеют одинаковый синус двойного аргумента, хотя один лежит во второй половине периода. Проверка: sin(7π/6)=−1/2 и sin(11π/6)=−1/2.

Для sin(2x)=√2/2 решения на [0;π] — π/8 и 3π/8. На [−π;0] от них вычитают π: −7π/8 и −5π/8. Пропустить отрицательные корни легко, если в ответе сохранять только таблицу первого оборота. Правильный способ — использовать общие семейства x=π/8+πk и x=3π/8+πk, выбирая целые k по границам.

В № 13–14 диапазон [0;2π] содержит два полных периода синуса от 2x. Простое копирование ответа для [0;π] здесь потеряет корни при сдвиге на π. А для sin(2x)=0 крайние точки x=0,π,2π — различные решения; при подсчёте числа корней на замкнутом отрезке границы включаются.