Определение взаимного расположения при общей точке двух прямых — мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1787

Учебная цель: отличать пересечение различных прямых от совпадения, доказывая вывод по общим точкам и направлениям.

Тезис под проверкой

«У двух прямых есть общая точка. Следовательно, они пересекаются ровно в одной точке». Звучит правдоподобно, но утверждение неполно: оно не исключает совпадения прямых. В стереометрии важно сначала установить, различны ли объекты, и только затем выбирать термин «пересекаются». В этой карточке рассматриваются именно две прямые, а не прямая и плоскость.

Почему это работает: доказательство через общие точки

Если различные прямые a и b имеют общую точку P, они пересекаются. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость: можно взять по одной дополнительной точке на каждой и построить через полученные три неколлинеарные точки плоскость. Скрещивания быть не может, ведь скрещивающиеся прямые по определению не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

Если же кроме P есть ещё одна общая точка Q, отличная от P, обе прямые обязаны совпасть: через две разные точки проходит единственная прямая. Поэтому у двух прямых число общих точек не может быть ровно два или ровно три. Оно равно нулю, одному либо бесконечности.

Особые случаи, в которых часто ошибаются

Общее направление не заменяет проверки общей точки. Если прямые параллельны в школьном смысле и различны, общих точек у них нет. Если через одну точку провести два прямолинейных пути с одинаковым направлением, это одна прямая. Рисунок, на котором линии выглядят пересекающимися, также не даёт доказательства: изображения разных пространственных точек могут совпасть на бумаге.

Параметрические записи помогают проверить геометрию без чертежа. Если обе прямые записаны как P+t·u и P+s·v, то P — общая точка. При непропорциональных u и v прямые различны и пересекаются только в P. При пропорциональных ненулевых векторах u и v они совпадают. Вопрос здесь не в вычислении красивых координат, а в доказательстве числа общих точек.

Двенадцать задач на обоснование

1. Прямые a и b имеют единственную общую точку P. Могут ли они быть скрещивающимися?
2. Две прямые содержат P и Q, где P ≠ Q. Назовите их взаимное расположение.
3. Через точку P проведены две прямые с разными направлениями. Что можно доказать?
4. Прямые содержат P и параллельны. Обязательно ли они различны?
5. Прямые a: (t,0,0) и b: (0,s,0), где t,s — любые действительные числа. Классифицируйте.
6. Прямые a: (t,t,t) и b: (2s,2s,2s). Сколько у них общих точек?
7. Прямые a: (t,0,0) и b: (0,s,1). Их проекции на Oxy имеют общую точку O. Пересекаются ли исходные прямые?
8. Пусть a лежит в плоскости α, а b проходит через P∈a, но не лежит в α. Как расположены прямые?
9. Через общую точку P проходят прямые с векторами (1,2,0) и (3,6,0). Отличаются ли эти прямые?
10. Даны a: (1,2,3)+t(1,0,1) и b: (1,2,3)+s(0,2,1). Определите взаимное расположение.
11. Один школьник говорит: «Если две прямые имеют общую точку, они обязательно пересекаются в одной точке». Найдите недостающее условие.
12. Можно ли иметь ровно две различные общие точки у двух различных прямых?

Ключ с объяснениями

1. Нет. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются; через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
2. Они совпадают: через две различные точки проходит ровно одна прямая. Общих точек бесконечно много.
3. Прямые имеют ровно одну общую точку P. При различных направлениях совпадение исключено.
4. Нет. Различные параллельные прямые не пересекаются; при общей точке и одинаковом направлении прямые совпадают.
5. Пересекаются в O(0,0,0). Точка общая при t=s=0, направляющие (1,0,0) и (0,1,0) неколлинеарны.
6. Бесконечно много: b(s)=a(2s), то есть это одна и та же прямая.
7. Нет. У a координата z=0, у b z=1. Направления различны, значит это скрещивающиеся прямые; совпадение проекций не доказывает пересечения.
8. Пересекаются только в P: если бы у b было две точки в α, вся прямая b лежала бы в α. Совпадение невозможно.
9. Нет: второй направляющий вектор равен трём первым; общая точка и коллинеарные направления дают совпадение.
10. Пересекаются в P(1,2,3). Векторы (1,0,1) и (0,2,1) не пропорциональны, поэтому иных общих точек нет.
11. Нужно добавить: прямые различны. В противном случае они могут совпадать и иметь бесконечно много общих точек.
12. Нет. Через эти две точки проходит единственная прямая; значит обе обязаны совпасть.

При самопроверке обоснуйте каждую классификацию одним из трёх фактов: «есть общая точка и направления различны», «есть две общие точки» или «не существует общей точки». В задачах № 7 и № 11 особенно важно не заменять доказательство видом рисунка. При совпадении проекций могут стоять различные значения третьей координаты, а формулировка «имеют общую точку» ещё не означает «имеют ровно одну».

Самостоятельное усложнение: попробуйте нарисовать на листе два изображения прямых с пересечением, которые в пространстве скрещиваются. Можно выбрать одну прямую в нижнем горизонтальном слое, а другую — в параллельном верхнем слое, повернув её направление. Этот пример показывает границу метода наблюдения: для стереометрического вывода требуются пространственные данные.