Проверка параллельности по признаку для прямой и плоскости — тренажёр для 10 класса

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1789

Учебная цель: проверять полноту условий признака параллельности прямой плоскости и приводить контрпримеры к ошибочным выводам.

Мини-тест: применим ли признак?

Проверяется не запоминание одной фразы, а логическая полнота обоснования. Обозначение b⊂α означает, что вся прямая b лежит в плоскости α. Обозначение a∥α используем в строгом смысле: ни одной общей точки. Утверждения вида «на рисунке кажется параллельной» не считаются доказательством.

1. a∉α, b⊂α, a∥b. Достаточно ли этого для a∥α?
2. a⊂α, b⊂α, a∥b. Можно ли заключить a∥α?
3. a проходит через точку α и параллельна некоторой b⊂α. Может ли a не лежать в α?
4. Прямая a проходит через точку (0;0;2) вдоль (1;1;0), плоскость α: z=0. Каков вывод?
5. Прямая a проходит через (0;0;0) вдоль (2;0;0), α: z=0. Является ли a∥α?
6. a: (t;0;t), α: z=0. Достаточно ли существования параллельного в плоскости направления для a∥α?
7. Прямая a∥α; точка P лежит на a. Может ли P одновременно принадлежать α?
8. Прямая a не лежит в α, но известно лишь, что одна её проекция параллельна b⊂α. Доказано ли a∥α?
9. a: (t;4;7), α: z=0; b: (s;0;0). Проверьте признак.
10. a: (1;2;0)+t(1;1;0), α: z=0. Можно ли применить признак?
11. a: (2;1;−3)+t(0;1;0), α: z=0. Сформулируйте основание вывода.
12. Если a параллельна двум различным прямым b и c плоскости α, следует ли автоматически a∥α?

Критерии и баллы

За каждый правильный вывод начислите 1 балл, а за явное указание выполненного или нарушенного условия — ещё 1. Всего 24 балла. 21–24 — уверенное применение признака; 16–20 — исправьте случаи, когда прямая лежит в плоскости; 0–15 — повторите связь между направлением прямой и наличием общей точки.

Разбор ответов

1. Да. Прямая вне плоскости с направлением прямой в ней не имеет с плоскостью общих точек.
2. Нет. a лежит в α: у неё бесконечно много общих точек с α.
3. Нет. Прямая через точку α с направлением прямой из α целиком лежит в α.
4. a∥α: координата z постоянна и равна 2, поэтому общих точек нет.
5. Нет, a целиком лежит в α; условие «не принадлежит плоскости» нарушено.
6. У a направление (1;0;1), оно не параллельно α. При t=0 есть общая точка, значит a не параллельна α.
7. Нет. Тогда P была бы общей точкой, противоречие строгой параллельности.
8. Нет: проекция не даёт сведения о вертикальной составляющей направления. Возможны пересечение и скрещивание с b.
9. Да: направления a и b равны (1;0;0), b⊂α, a не лежит в α, следовательно a∥α.
10. Нет: a лежит в α, хотя её направление горизонтально.
11. a∥α: z=−3 для всех t. Линия направлена вдоль координатной оси y внутри α и не пересекает α.
12. Нет без условия a∉α: a может сама лежать в α; наличие двух параллельных ей прямых в α не исключает совпадение плоскости.

Обратите внимание на № 2, 3 и 12. Проверка направления ещё не доказывает отсутствие пересечения: если прямая проходит через точку плоскости и имеет направление, лежащее в плоскости, она целиком в ней. Для отрицательного вывода достаточно одного нарушенного условия. Для положительного важно одновременно установить и направление, и отсутствие принадлежности плоскости.