Нахождение угла между объектами для прямой и плоскости — диагностика ошибок, 10 класс

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1791

Учебная цель: находить угол между наклонной и плоскостью, различать проекцию и высоту и исправлять ошибки при выборе тригонометрического отношения.

Диагностика: угол с плоскостью — это не угол с перпендикуляром

Пусть точка P находится над горизонтальной плоскостью α, H — основание перпендикуляра из P на α, а A — точка в плоскости. Тогда угол между прямой AP и плоскостью α равен углу PAH между наклонной AP и её ортогональной проекцией AH. Прямоугольный треугольник APH позволяет проверить ответ по двум независимым отношениям: sin φ=PH/AP и tg φ=PH/AH.

Пример с обратной проверкой: если проекция AH=12 см, вертикаль PH=5 см, наклонная AP=13 см, то φ≈22,6°. Значение 67,4° — дополнительный угол между AP и вертикалью PH, но не между AP и плоскостью. Проверка sin φ=5/13 и tg φ=5/12 подтверждает меньший угол. Для прямой и плоскости берут угол от 0° до 90°.

Измените условие и найдите ошибку

Если при той же длине наклонной 13 см поменять местами проекцию и вертикальную составляющую, получим AH=5 см и PH=12 см. Угол станет примерно 67,4°. Это не «та же геометрия в другой записи»: изменилась сама наклонная по отношению к плоскости. Особенно опасно выбирать противоположный угол только потому, что он тоже острый.

Самостоятельная серия: проверьте метод и результат

1. Наклонная длиной 5 см поднимается на 4 см над плоскостью; длина проекции равна 3 см. Найдите угол с плоскостью до 0,1°.
2. В чертеже проекция наклонной равна 4 см, её вертикальная составляющая 3 см. Дайте оценку угла наклонной к плоскости до 0,1°.
3. Ученик назвал угол 22,6° между наклонной длиной 13 см и плоскостью; катеты поднимающего треугольника равны 5 и 12 см (проекция и высота). Проверьте ответ.
4. Найдите угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости, если основание прямоугольного треугольника 12 м, высота 5 м, гипотенуза 13 м.
5. Наклонная длиной 17 см поднимается на 15 см над плоскостью; длина проекции равна 8 см. Найдите угол с плоскостью до 0,1°.
6. В чертеже проекция наклонной равна 15 см, её вертикальная составляющая 8 см. Дайте оценку угла наклонной к плоскости до 0,1°.
7. Ученик назвал угол 16,3° между наклонной длиной 25 см и плоскостью; катеты поднимающего треугольника равны 7 и 24 см (проекция и высота). Проверьте ответ.
8. Найдите угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости, если основание прямоугольного треугольника 24 м, высота 7 м, гипотенуза 25 м.
9. Наклонная длиной 15 см поднимается на 12 см над плоскостью; длина проекции равна 9 см. Найдите угол с плоскостью до 0,1°.
10. В чертеже проекция наклонной равна 12 см, её вертикальная составляющая 9 см. Дайте оценку угла наклонной к плоскости до 0,1°.
11. Ученик назвал угол 43,6° между наклонной длиной 29 см и плоскостью; катеты поднимающего треугольника равны 20 и 21 см (проекция и высота). Проверьте ответ.
12. Найдите угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости, если основание прямоугольного треугольника 21 м, высота 20 м, гипотенуза 29 м.
13. Наклонная длиной 10 см поднимается на 8 см над плоскостью; длина проекции равна 6 см. Найдите угол с плоскостью до 0,1°.
14. В чертеже проекция наклонной равна 8 см, её вертикальная составляющая 6 см. Дайте оценку угла наклонной к плоскости до 0,1°.
15. Ученик назвал угол 22,6° между наклонной длиной 26 см и плоскостью; катеты поднимающего треугольника равны 10 и 24 см (проекция и высота). Проверьте ответ.
16. Найдите угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости, если основание прямоугольного треугольника 24 м, высота 10 м, гипотенуза 26 м.

Ключ с обратной тригонометрической проверкой

1. 53,1°: sin φ=4/5, cos φ=3/5, tg φ=4/3. Проверка: sin²φ+cos²φ=(4²+3²)/5²=1.
2. 36,9°: sin φ=3/5, cos φ=4/5, tg φ=3/4. Проверка: sin²φ+cos²φ=(3²+4²)/5²=1.
3. 67,4°: sin φ=12/13, cos φ=5/13, tg φ=12/5. Проверка: sin²φ+cos²φ=(12²+5²)/13²=1. Предложенный учеником угол является дополнением до 90° и получился из перестановки катетов.
4. 22,6°: sin φ=5/13, cos φ=12/13, tg φ=5/12. Проверка: sin²φ+cos²φ=(5²+12²)/13²=1.
5. 61,9°: sin φ=15/17, cos φ=8/17, tg φ=15/8. Проверка: sin²φ+cos²φ=(15²+8²)/17²=1.
6. 28,1°: sin φ=8/17, cos φ=15/17, tg φ=8/15. Проверка: sin²φ+cos²φ=(8²+15²)/17²=1.
7. 73,7°: sin φ=24/25, cos φ=7/25, tg φ=24/7. Проверка: sin²φ+cos²φ=(24²+7²)/25²=1. Предложенный учеником угол является дополнением до 90° и получился из перестановки катетов.
8. 16,3°: sin φ=7/25, cos φ=24/25, tg φ=7/24. Проверка: sin²φ+cos²φ=(7²+24²)/25²=1.
9. 53,1°: sin φ=12/15, cos φ=9/15, tg φ=12/9. Проверка: sin²φ+cos²φ=(12²+9²)/15²=1.
10. 36,9°: sin φ=9/15, cos φ=12/15, tg φ=9/12. Проверка: sin²φ+cos²φ=(9²+12²)/15²=1.
11. 46,4°: sin φ=21/29, cos φ=20/29, tg φ=21/20. Проверка: sin²φ+cos²φ=(21²+20²)/29²=1. Предложенный учеником угол является дополнением до 90° и получился из перестановки катетов.
12. 43,6°: sin φ=20/29, cos φ=21/29, tg φ=20/21. Проверка: sin²φ+cos²φ=(20²+21²)/29²=1.
13. 53,1°: sin φ=8/10, cos φ=6/10, tg φ=8/6. Проверка: sin²φ+cos²φ=(8²+6²)/10²=1.
14. 36,9°: sin φ=6/10, cos φ=8/10, tg φ=6/8. Проверка: sin²φ+cos²φ=(6²+8²)/10²=1.
15. 67,4°: sin φ=24/26, cos φ=10/26, tg φ=24/10. Проверка: sin²φ+cos²φ=(24²+10²)/26²=1. Предложенный учеником угол является дополнением до 90° и получился из перестановки катетов.
16. 22,6°: sin φ=10/26, cos φ=24/26, tg φ=10/24. Проверка: sin²φ+cos²φ=(10²+24²)/26²=1.

Четыре распространённые ошибки

1. Подмена угла с плоскостью углом с вертикальным перпендикуляром. Исправление: нарисуйте проекцию AH и обозначьте угол именно в вершине A.
2. Использование tg φ=AH/PH вместо PH/AH. Обратная дробь даёт дополнительный угол, если оба катета ненулевые.
3. Принятие длины наклонной за длину проекции. По теореме Пифагора наклонная длиннее каждого катета в недегеративном случае.
4. Смешение единиц измерения. Сначала переведите все длины в одни единицы, иначе отношение катетов окажется неверным.

Если наклонная лежит в плоскости, её угол с плоскостью равен 0°. Если линия перпендикулярна плоскости, угол равен 90°, а горизонтальная проекция вырождается в точку. Для обычной наклонной оба катета положительны и угол строго между 0° и 90°. Поэтому ответ 116° или отрицательная величина не может быть искомым острым углом прямой к плоскости.

Способ самопроверки: во всех числовых заданиях достаточно вычислить sin φ=PH/AP, а затем подтвердить, что cos φ=AH/AP. Для прямоугольного треугольника их квадраты должны давать 1. Неверный калькуляторный режим радиан вместо градусов также приводит к очевидной ошибке: проверяйте, что итоговые значения записаны именно в градусах и округлены до десятых.

Ещё одна независимая проверка строится на здравом смысле: чем больше высота при неизменной горизонтальной проекции, тем больше угол наклона к плоскости. Например, пары (проекция 3, высота 4) и (проекция 4, высота 3) имеют одинаковую гипотенузу, но первый отрезок наклонён сильнее. Если в решении показано обратное, ошибочно выбрана доля или перепутан угол при основании с углом при вершине.