Нахождение угла между объектами для двух плоскостей в призме: тренажёр для 10 класса

Математика • 10 класс • Практические карточки • MATH-1792

Учебная цель: определять меньший угол между плоскостями в прямой призме по линейному углу двугранного угла и числовым данным.

Три контрольных вопроса

1. В прямой призме угол между основанием ABCD и боковой гранью ABB₁A₁ равен чему?
2. Каким углом измеряют угол между плоскостями ABCD и ABD₁: ∠DAD₁ или ∠D₁AD?
3. Если AD=3 см, AA₁=4 см, найдите угол плоскости ABD₁ к основанию до 0,1°.

Короткая памятка: как получить линейный угол двугранного угла

Рассмотрим прямую призму ABCD–A₁B₁C₁D₁ с прямоугольным основанием. Плоскость ABD₁ содержит ребро AB и вершину D₁. Она пересекает основание ABCD по AB. Чтобы найти угол между плоскостями, проведите из A в каждой плоскости луч, перпендикулярный AB: в основании это AD, в наклонной плоскости — AD₁. Поэтому искомый угол равен ∠DAD₁, а не произвольному углу между рёбрами.

Треугольник ADD₁ прямоугольный: AD горизонтальна, DD₁ вертикальна. Следовательно, tg φ=DD₁/AD. Здесь DD₁=AA₁ — высота призмы. При данных AD=3, AA₁=4 получаем φ≈53,1°. Угол с соседней вертикальной гранью, проходящей через AB, равен дополнительному, 36,9°. Этот контраст объясняет типичную ошибку в выборе пары плоскостей.

Задания 4–12: исправьте и проверьте

4. Для той же призмы (AD=3, AA₁=4) найдите угол плоскости ABD₁ с гранью ABB₁A₁.
5. Пусть AD=4 см, AA₁=3 см. Найдите угол между ABD₁ и ABCD до 0,1°.
6. AD=5, AA₁=5. Каков угол между ABD₁ и основанием?
7. AD=12, AA₁=5. Каков угол плоскости ABD₁ с основанием до 0,1°?
8. AD=5, AA₁=12. Вычислите угол между ABD₁ и основанием до 0,1°.
9. AD=8, AA₁=6. Плоскость проходит через AB и середину DD₁. Найдите её угол с основанием.
10. AD=6, AA₁=8. Плоскость проходит через AB и середину DD₁. Вычислите угол с основанием.
11. Правда ли, что верхнее основание A₁B₁C₁D₁ образует с нижним угол 90°?
12. Боковые грани ABB₁A₁ и BCC₁B₁ смежны. Чему равен меньший угол между их плоскостями?

Быстрый ключ и разбор

1. 90°: боковые рёбра перпендикулярны основанию, значит боковая грань перпендикулярна основанию.
2. ∠D₁AD: обе линии AD и AD₁ перпендикулярны общей линии AB и принадлежат соответствующим плоскостям.
3. φ=arctg(4/3)≈53,1°. В прямоугольном треугольнике ADD₁ катеты 3 и 4, диагональ AD₁=5.
4. 36,9°. Эта грань вертикальна и обе плоскости имеют общий след AB; 90°−53,1°≈36,9°.
5. φ=arctg(3/4)≈36,9°; угол уменьшается по сравнению с задачей 3.
6. 45°, поскольку равны горизонтальная и вертикальная составляющие сечения ADD₁.
7. φ=arctg(5/12)≈22,6°. Длина наклонной AD₁=13.
8. φ=arctg(12/5)≈67,4°. При перестановке катетов угол стал дополнительным к прежнему.
9. Высота середины равна 3, горизонтальная составляющая 8; φ=arctg(3/8)≈20,6°.
10. Высота середины равна 4, горизонталь 6; φ=arctg(4/6)≈33,7°.
11. Нет. Плоскости оснований параллельны и угол между их направлениями равен 0°, а не 90°.
12. 90°: соседние боковые грани прямоугольной призмы перпендикулярны, как стороны прямоугольного основания.

В задачах 9 и 10 плоскость проходит не через D₁, а через середину DD₁, поэтому в тангенс попадает половина высоты призмы. Если автоматически использовать AA₁ вместо половины AA₁, получится слишком большой угол. В задачах 11 и 12 нельзя путать параллельные основания и соседние боковые грани: угол между ними соответственно 0° и 90°.

Проверка собственным чертежом: проведите общую линию пересечения двух рассматриваемых плоскостей и в обеих плоскостях постройте перпендикуляры к этой линии через одну точку. Угол между построенными лучами даёт нужное измерение. Наклонная линия, не перпендикулярная общему следу, не может автоматически считаться линейным углом двугранного угла.

Короткое упражнение на обоснование: если в призме увеличить высоту, не меняя AD, плоскость ABD₁ будет подниматься круче, поэтому меньший угол с основанием увеличится. Если, наоборот, оставить высоту и удвоить AD, угол уменьшится. Это следует из tg φ=AA₁/AD и служит качественной проверкой всех вычислений в карточке.