Поиск стационарной точки по графику производной — тематические карточки для 11 класса

Математика · 11 класс · MATH-1863

Учебная цель: выделять стационарные абсциссы по графику производной и отдельно проверять, возникает ли экстремум.

Как читать именно график производной

На рисунках показана величина f′(x), а не сама f(x). Стационарная точка исходной функции — точка её области определения, где f′(x)=0. На графике производной она находится там, где линия лежит на оси абсцисс. Стационарная точка может соответствовать максимуму, минимуму либо не быть экстремумом. Решение нельзя получить по одному виду вершины графика f′: ищите пересечения с горизонтальной осью.

Ниже пять заранее построенных схем. Они рассчитаны по точным формулам производных, указанным рядом; графический масштаб служит для чтения нулей и знаков, а алгебраическая формула — для проверки. Все функции f считаются дифференцируемыми на R. Важны не численные значения f, которых на этих рисунках нет, а расположение нулей f′ и знак между ними.

A: f′(x)=x²−4

B: f′(x)=(x−1)²

C: f′(x)=x(x−3)

D: f′(x)=−(x+1)(x−2)

E: f′(x)=(x+1)(x−2)²

Один разобранный пример с обратной проверкой

Для графика B формула f′(x)=(x−1)². Уравнение f′=0 имеет единственный корень x=1. Восстановим одну возможную первообразную: f(x)=(x−1)³/3+C. При x₁<x₂ кубическая функция возрастает, поэтому x=1 не даёт экстремума. Пара «стационарная точка есть — экстремума нет» подтверждена и по графику производной, и по исходной функции.

Изменённое условие: сравните графики A и E

На рисунке A обе точки, где f′=0, соответствуют экстремумам. На E тоже два нуля f′, но только одна точка экстремума: в x=2 линия производной касается оси, не пересекая её. Эта разница является главной проверкой понимания темы. Даже если точные координаты нарисованы не в масштабе, знак по соседству с нулём остаётся решающим.

Семнадцать заданий по графикам

1. График A: назовите все стационарные абсциссы f.
2. График A: какая стационарная точка соответствует локальному максимуму f?
3. График A: где у f локальный минимум?
4. График A: может ли x=0 быть стационарной точкой f?
5. График B: найдите стационарную абсциссу.
6. График B: есть ли экстремум f при x=1?
7. График B: верно ли, что f возрастает на всей R, несмотря на нуль производной?
8. График C: сколько стационарных абсцисс у f?
9. График C: определите типы экстремумов f при x=0 и x=3.
10. График C: проверьте интервал (0;3) на монотонность f.
11. График D: укажите все стационарные абсциссы.
12. График D: какая стационарная абсцисса даёт минимум f?
13. График D: проверьте x=2.
14. График E: сколько стационарных абсцисс?
15. График E: какая точка является экстремумом f?
16. График E: почему x=2 всё-таки стационарная точка?
17. У двух учеников по графику B ответы «одна стационарная точка» и «ноль экстремумов». Противоречат ли они друг другу?

Ключ с обратной проверкой

1. −2 и 2: именно в этих точках график производной пересекает ось x.
2. x=−2: f′ меняется с «+» на «−».
3. x=2: f′ переходит от отрицательных значений к положительным.
4. Нет, f′(0)=−4, то есть график производной не лежит на горизонтальной оси при x=0.
5. x=1: f′(x)=(x−1)², поэтому нуль только при 1.
6. Нет. График f′ касается оси x и остаётся неотрицательным с обеих сторон. Производная не меняет знака.
7. Да. f′≥0 и положительна при x≠1, поэтому функция строго возрастает.
8. Две: x=0 и x=3.
9. При x=0 максимум («+» переходит в «−»), при x=3 минимум («−» переходит в «+»).
10. Там f′=x(x−3)<0; f строго убывает.
11. x=−1 и x=2: нули функции f′=−(x+1)(x−2).
12. x=−1: производная меняет знак с отрицательного на положительный.
13. Это максимум f: знак производной меняется с положительного на отрицательный.
14. Две: x=−1 и x=2, ведь f′=(x+1)(x−2)².
15. Только x=−1 — минимум, так как знак производной меняется «−» на «+». При x=2 смены знака нет.
16. Потому что f′(2)=0, даже если экстремума нет. Определение стационарности не требует изменения знака.
17. Нет. Стационарная точка есть x=1, но производная не меняет знака, поэтому экстремум отсутствует.

Почему неверный ответ кажется правдоподобным

Типичная ошибка — считать любой нуль производной вершиной f. На самом деле производная может равняться нулю на мгновение и иметь положительный знак по обе стороны, как на графике B. Другой неверный ход — перепутать локальный минимум самой производной с локальным минимумом исходной функции. В графике B при x=1 у f′ минимум, но у f нет экстремума. Именно поэтому сначала нужно ответить на вопрос «что нарисовано?»

Обратная проверка строится так: для предполагаемого максимума f знак f′ обязан перейти от «+» к «−»; для минимума — от «−» к «+». Если перехода нет, стационарная точка не даёт экстремума. Такое доказательство работает для показанных непрерывных графиков производных и не требует вычислять f в самих стационарных точках.

Короткая самостоятельная проверка: закройте формулы возле рисунков и определите только по их линиям, где производная выше или ниже горизонтальной оси. Затем откройте формулы и подставьте контрольные числа между нулями. Результаты должны совпасть. Если вы отметили «нуль» в точке, где график лишь имеет локальный минимум выше оси, исправьте ответ: стационарность f связана именно с нулём f′, а не с экстремумом f′.

Восстановите исходную функцию как независимую проверку графика

Для графика A задано f′(x)=x²−4. Одна из возможных исходных функций — f(x)=x³/3−4x+C. Её производная обращается в нуль при x=−2 и x=2. Вычисляя знаки f′ в трёх интервалах, видим сначала возрастание, затем убывание, затем снова возрастание. Поэтому значение в x=−2 является локальным максимумом, а в x=2 локальным минимумом. Добавление константы C меняет высоту графика f, но не меняет стационарные абсциссы; так график производной отделяет расположение точек от их численных ординат.

Для графика D производная равна −(x+1)(x−2)=−x²+x+2. Подстановка x=−2 даёт отрицательный знак, x=0 — положительный, x=3 — отрицательный. Значит сначала исходная функция убывает, затем возрастает и снова убывает. Восстановление первообразной f(x)=−x³/3+x²/2+2x+C подтверждает, что минимум находится при −1, максимум при 2. Одной лишь вершины графика производной недостаточно: важен пересекаемый уровень y=0.

Особенно показателен график E. Его производная раскладывается на множители (x+1)(x−2)². В x=−1 линейный множитель меняет знак, а квадрат остаётся положительным по обе стороны, поэтому у исходной функции минимум. В x=2 квадрат обращается в нуль, но остаётся положительным по обе стороны; это стационарная точка без максимума и минимума. Таким образом, два нуля производной соответствуют только одному экстремуму. Именно это нужно проверять при ответе, а не только подсчитывать пересечения графика с осью.

Для контрольной подстановки подойдут x=−3, x=0 и x=3 на графике A: производная равна соответственно 5, −4 и 5. Знаки совпадают с рисунком и подтверждают, что в центре исходная функция убывает. На графике E можно взять x=−2, x=0 и x=3: произведение (x+1)(x−2)² даёт отрицательное, положительное и положительное значения. Эта простая числовая проверка помогает заметить случай касания оси без смены знака.