Сравнение двух интегралов при смене пределов интегрирования — тренажёр для 11 класса

Математика • 11 класс • MATH-1908

Цель карточки: сравнивать интегралы с переставленными границами, учитывая отрицательные и нулевые значения.

Старт: поменялись только пределы, но не функция

Правило ∫ от a до b f(x)dx = −∫ от b до a f(x)dx является точным алгебраическим равенством. Оно действует независимо от знака f. Если значение исходного интеграла было отрицательным, то после перестановки границ оно станет положительным; если нулевым — останется нулём.

Например, ∫ от 0 до 2 (x−1)dx=[x²/2−x] от 0 до 2=0. Перестановка пределов ничего не меняет численно, потому что противоположное число к нулю — нуль. Значит, утверждение «после смены пределов ответ всегда другой» неверно.

Развилка: где верное рассуждение?

• Маршрут А: если A>0, то после перестановки пределов B<0 и A>B.
• Маршрут Б: если A<0, то новый B>0 и A<B.
• Маршрут В: если A=0, оба интеграла равны нулю.
• Ложный маршрут: всегда A>B, потому что прежний верхний предел больше нижнего. Знак зависит от функции, а не только от порядка чисел.

Первая ступень — сравнение без длинных вычислений

Для каждого задания сначала мысленно установите B=−A. Затем найдите A по первообразной, запишите B и символ сравнения. Пункты намеренно включают положительные, отрицательные и нулевые значения; выбирайте правило, а не шаблон ответа.

1. Сравните A=∫ от 0 до 3 (2·x)dx и B=∫ от 3 до 0 (2·x)dx; укажите оба значения.
2. Сравните A=∫ от -1 до 2 (x^2)dx и B=∫ от 2 до -1 (x^2)dx; укажите оба значения.
3. Сравните A=∫ от 1 до 4 (-3)dx и B=∫ от 4 до 1 (-3)dx; укажите оба значения.
4. Сравните A=∫ от 0 до 4 (x — 2)dx и B=∫ от 4 до 0 (x — 2)dx; укажите оба значения.
5. Сравните A=∫ от -1 до 3 (x + 1)dx и B=∫ от 3 до -1 (x + 1)dx; укажите оба значения.
6. Сравните A=∫ от 1 до 5 (4 — x)dx и B=∫ от 5 до 1 (4 — x)dx; укажите оба значения.

Вторая ступень — функции, меняющие знак

7. Сравните A=∫ от -1 до 1 (x^2 — 1)dx и B=∫ от 1 до -1 (x^2 — 1)dx; укажите оба значения.
8. Сравните A=∫ от 0 до 2 (x^3)dx и B=∫ от 2 до 0 (x^3)dx; укажите оба значения.
9. Сравните A=∫ от -2 до 2 (x^3)dx и B=∫ от 2 до -2 (x^3)dx; укажите оба значения.
10. Сравните A=∫ от 0 до 3 (1 — 2·x)dx и B=∫ от 3 до 0 (1 — 2·x)dx; укажите оба значения.
11. Сравните A=∫ от 0 до 2 (3·x^2)dx и B=∫ от 2 до 0 (3·x^2)dx; укажите оба значения.
12. Сравните A=∫ от 0 до 3 (x^2 — 4)dx и B=∫ от 3 до 0 (x^2 — 4)dx; укажите оба значения.

Третья ступень — контроль знака первообразной

13. Сравните A=∫ от -2 до 1 (x — 1)dx и B=∫ от 1 до -2 (x — 1)dx; укажите оба значения.
14. Сравните A=∫ от 0 до 1 (x^2 + 2)dx и B=∫ от 1 до 0 (x^2 + 2)dx; укажите оба значения.
15. Сравните A=∫ от 1 до 3 (-x^2)dx и B=∫ от 3 до 1 (-x^2)dx; укажите оба значения.
16. Сравните A=∫ от 0 до 3 (x^2 — 3·x)dx и B=∫ от 3 до 0 (x^2 — 3·x)dx; укажите оба значения.
17. Сравните A=∫ от 0 до 3 (x^2 — 3·x + 2)dx и B=∫ от 3 до 0 (x^2 — 3·x + 2)dx; укажите оба значения.
18. Сравните A=∫ от 0 до 2 (x^2 — 2·x)dx и B=∫ от 2 до 0 (x^2 — 2·x)dx; укажите оба значения.

Ключ ответов с вычислениями

1. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=9, B=-9. Следовательно, A > B.
2. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=3, B=-3. Следовательно, A > B.
3. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-9, B=9. Следовательно, A < B.
4. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=0, B=0. Следовательно, A = B. Оба равны нулю; при перестановке границ нуль не меняется.
5. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=8, B=-8. Следовательно, A > B.
6. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=4, B=-4. Следовательно, A > B.
7. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-4/3, B=4/3. Следовательно, A < B.
8. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=4, B=-4. Следовательно, A > B.
9. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=0, B=0. Следовательно, A = B. Оба равны нулю; при перестановке границ нуль не меняется.
10. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-6, B=6. Следовательно, A < B.
11. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=8, B=-8. Следовательно, A > B.
12. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-3, B=3. Следовательно, A < B.
13. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-9/2, B=9/2. Следовательно, A < B.
14. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=7/3, B=-7/3. Следовательно, A > B.
15. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-26/3, B=26/3. Следовательно, A < B.
16. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-9/2, B=9/2. Следовательно, A < B.
17. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=3/2, B=-3/2. Следовательно, A > B.
18. По свойству смены пределов B=−A. Интегрирование даёт A=-4/3, B=4/3. Следовательно, A < B.

Как исправить типичную ошибку

Проверяйте обратным действием: если A=F(b)−F(a), то после перестановки B=F(a)−F(b)=−A. Изменение подынтегральной функции f на −f — другая операция, но она тоже меняет знак интеграла; одновременная смена пределов и замена f на −f, наоборот, возвращает исходное значение.

Не путайте эту операцию с заменой переменной. При подстановке изменяются одновременно границы и дифференциал, поэтому один знак может компенсировать другой. Простой способ контроля — вычислить исходную первообразную и проверить оба подстановочных значения независимо друг от друга.

Самоконтроль: три частые ловушки при перестановке границ

Ловушка первая — автоматически считать, что при обратных пределах значение всегда отрицательно. Это неверно: знак обращённого интеграла зависит от исходного числа. Например, для f(x)=−2 на [1,4] исходный интеграл равен −6, а обратный от 4 до 1 равен +6. То, что 4 численно больше 1, не является причиной отрицательного ответа. Первое вычисление должно учитывать знак функции; только затем действует правило смены пределов.

Ловушка вторая — забывать нулевой результат. Если площадь над осью по модулю равна площади под ней, ориентированные вклады взаимно уничтожаются. Например, ∫ от 0 до 2 (x−1)dx=0: левый отрицательный и правый положительный треугольники равны по площади. После перемены пределов остаётся 0. В таких заданиях выражение «первый больше второго» ложно, хотя порядок пределов действительно изменился.

Ловушка третья — менять пределы лишь на одной строке многошагового решения, а на следующей возвращаться к прежней первообразной без знака минус. Безопасный алгоритм такой: сначала запишите A=F(b)−F(a), затем B=F(a)−F(b). Выпишите обе числовые подстановки и лишь после этого сравните. Если получились числа не противоположные друг другу, значит, в вычислении первообразной или вычитании допущена ошибка.

Почему правило работает даже тогда, когда график пересекает ось

Интеграл на отрезке допускает разбиение на конечное число участков, где функции удобно изучать отдельно. Пусть от a до c вклад равен +8, а от c до b равен −11; тогда интеграл от a до b равен −3. При движении в обратном порядке каждый элементарный ориентированный вклад меняет знак: прежние +8 превращаются в −8, а прежние −11 — в +11. Сумма становится +3. Так можно убедиться в правиле геометрически, без предположения о постоянном знаке подынтегральной функции.

Выбор рационального метода: если первообразная простая, удобно вычислить A точно; если значение A уже дано, вычислять интеграл заново не нужно. Например, из условия ∫ от −5 до 2 f(x)dx=−7 сразу следует ∫ от 2 до −5 f(x)dx=7. Это не приближение и не следствие симметрии f. Это свойство ориентированного интеграла, справедливое для любой интегрируемой функции. Проводите проверку каждого ответа на это равенство.

В сложных задачах иногда одновременно меняют направление интегрирования и знак подынтегральной функции. Эти действия нельзя путать: отдельно каждое умножает ответ на −1, а вместе оставляет его прежним. Так, если A=∫ от 1 до 3 f(x)dx, то ∫ от 3 до 1 [−f(x)]dx=A. Краткое объяснение состоит из двух равенств: сначала смена пределов, затем вынесение множителя −1.

Итоговый тест метода: выберите любой из восемнадцати пунктов, обозначьте интегралы буквами A и B и запишите две строки без вычислений: B=−A и A+B=0. Затем вычислите A по первообразной и убедитесь, что второе равенство выполняется точно, даже если обе величины дробные. Такой двойной контроль выявляет потерянный минус на раннем шаге решения и позволяет самостоятельно проверить любой ответ.