Определение знака интеграла для нечётной функции на симметричном отрезке — карточки с ответами, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1911

Цель карточки: определять нулевой, положительный или отрицательный знак интеграла, проверяя симметрию, добавочные члены и существование интеграла.

Базовый пример: какое значение имеет знак «0»?

При f(x)=3x³−x на [−2,2] интеграл равен нулю. Не потому, что функция всюду нулевая и не потому, что площадь под графиком отсутствует. Подынтегральная функция нечётна: f(−x)=−f(x). Площади, расположенные симметрично слева и справа от вертикальной оси, компенсируются в ориентированной сумме.

Обратная проверка по первообразной подтверждает результат: F(x)=3x⁴/4−x²/2. Числа F(2) и F(−2) равны, поэтому F(2)−F(−2)=0. Второй способ полезен именно как контроль: сначала установите нечётность, затем при необходимости вычисляйте значения. Для десятичных значений округление здесь не требуется.

Измените одно условие — изменится ли знак?

• Замените [−a,a] на [−a,b], где b≠a: нулевой результат больше не гарантирован.
• Прибавьте положительную константу c к нечётной функции: симметричный интеграл станет 2ac>0, если a>0.
• Прибавьте отрицательную константу c: результат станет 2ac<0.
• Возьмите абсолютное значение нечётной функции: функция |f| чётная и неотрицательная, её интеграл на симметричном отрезке обычно положителен.
• Если интеграл не существует, правило применить нельзя: нечётности формального выражения недостаточно.

Шестнадцать карточек с обратной проверкой

1. f(x)=5x³ на [−2,2]. Определите знак интеграла и объясните без первообразной.
2. f(x)=−7x⁵+3x на [−1,1]. Будет ли интеграл отрицательным из-за коэффициента −7?
3. f(x)=x³−2x на [−4,4]. Сравните знак интеграла и знак f(3).
4. f(x)=x⁷ на [−3,3] и g(x)=−x⁹ на [−2,2]. У кого интеграл больше?
5. f(x)=x³ на [−1,1]. Если заменить интеграл на ∫ от −1 до 1 |f(x)|dx, как изменится знак?
6. f(x)=2x−3 на [−2,2]. Можно ли использовать правило нечётности и чему равен интеграл?
7. f(x)=−x³+4 на [−1,1]. Каков знак интеграла?
8. f(x)=x⁵+x на [−2,2]. Ученик утверждает: «Интеграл положителен, ведь при x>0 f>0». Что исправить?
9. f(x)=x³−x на [−1,1]. Меняет ли знак результата смена пределов?
10. f(x)=x³ на [−2,3]. Обязательно ли интеграл нулевой?
11. f(x)=−x³ на [−3,1]. Определите знак интеграла.
12. f(x)=x⁵−4x³+x на [−2,2]. Есть ли смысл вычислять сложную первообразную для определения знака?
13. f(x)=x+2x³+6 на [−1,1]. Найдите знак и число.
14. f(x)=x³ на [−2,2], но из области определения исключена точка x=0. Можно ли считать это непрерывной нечётной функцией на всём отрезке?
15. f(x)=1/x на [−1,1]. Можно ли заявить, что его обычный определённый интеграл равен 0 по нечётности?
16. Если нечётная непрерывная f имеет на [−a,a] значения положительные и отрицательные, равен ли нулю интеграл?

Полные ответы и работа над ошибками

1. Интеграл равен нулю: f нечётная, пределы симметричны. Проверка: [5x⁴/4] от −2 до 2 =0.
2. Нет, он равен нулю. Обе части — нечётные функции; знак коэффициента не отменяет симметрию. Проверка первообразной: −7x⁶/6+3x²/2 имеет одинаковые значения при x=±1.
3. Интеграл равен 0, хотя f(3)=27−6=21>0. Знак значения в одной точке не характеризует интеграл на симметричном отрезке.
4. Оба равны нулю: каждая функция нечётна на своём симметричном отрезке. Нет большего интеграла.
5. Исходное значение 0; после модуля оно положительно и равно 2·∫ от 0 до 1 x³dx=1/2. Модуль убирает отрицательный вклад.
6. Нельзя: постоянная −3 нарушает нечётность. Значение −3·4=−12 <0, а вклад 2x равен нулю.
7. Положительный: нечётная часть даёт 0, постоянная 4 даёт 8. Прямая обратная проверка первообразной −x⁴/4+4x также даёт 8.
8. Интеграл 0, так как на отрицательной половине вклад равный по модулю, но противоположный по знаку. Положительность на [0,2] недостаточна.
9. Результат остаётся нулём: ∫ от −1 до 1 f=0 и ∫ от 1 до −1 f=−0=0. Это не нарушение правила смены пределов.
10. Нет: границы не симметричны. [x⁴/4] от −2 до 3 = (81−16)/4 = 65/4 >0.
11. [−x⁴/4] от −3 до 1 = (−1+81)/4=20>0. На несимметричном отрезке знак может быть положительным.
12. Нет. Это нечётный многочлен, поэтому интеграл 0. Проверить можно тем, что первообразная содержит только чётные степени.
13. Интеграл 12>0. Нечётная часть x+2x³ интегрируется в 0, а константа 6 даёт 6·2=12.
14. Функция с исключённой точкой не задана на всём [−2,2], следовательно нельзя без оговорок применить формулировку для непрерывной на всём отрезке функции. Если определить f(0)=0, получим непрерывное продолжение и интеграл 0; удаление одной точки не меняет значения интеграла при корректной интегрируемой постановке.
15. Нет. В x=0 функция не определена и имеет неинтегрируемый разрыв. Оба односторонних несобственных интеграла расходятся; главный смысл Коши может равняться 0, но это не обычный определённый интеграл.
16. Да, независимо от расположения нулей внутри: по определению нечётности отрицательная часть на [−a,0] точно компенсирует положительный или смешанный вклад на [0,a]. Важны симметрия границ и интегрируемость, а не количество смен знака.

Проверка наиболее опасной ошибки: запись ∫ от −a до a f(x)dx=0 требует нечётности f и существования интеграла. Для f=1/x на отрезке через нуль обычного определённого интеграла нет, поэтому «0» не является правильным ответом. С другой стороны, если функция ограничена, интегрируема и в одной точке специально не определена, корректная запись может потребовать уточнения значения в этой точке, не меняя результат интегрирования.

Ещё один важный вывод: интеграл, равный нулю, не обязан быть интегралом нечётной функции. Например, f(x)=x²−1/3 на [−1,1] — чётная функция, но ∫x² = 2/3, а ∫1/3 = 2/3; разность 0. Поэтому обратное утверждение «нулевой симметричный интеграл означает нечётность» неверно.

Почему нулевое значение — самостоятельный знак результата

В задачах о знаке интеграла нужно различать три возможных исхода: положительный, отрицательный и нулевой. Нуль не следует записывать как «положительное число без знака». Нечётная интегрируемая функция на симметричном отрезке приводит именно к третьему исходу. Если в ответе требуется выбрать между >0, <0 и =0, верным будет равенство нулю. При этом функция может иметь положительные и отрицательные значения и даже несколько экстремумов внутри рассматриваемой области.

Часто кажется, что коэффициент перед старшей степенью определяет знак всего интеграла. Для нечётного многочлена это не так. Например, f(x)=−100x⁷+x³−5x остаётся нечётной функцией, а ∫ от −1 до 1 f=0 независимо от величины отрицательного коэффициента. Если изменить отрезок на [−1,2], нулевой вывод перестанет быть автоматическим. Поэтому прежде, чем искать знак, установите симметрию границ и паритет каждого слагаемого.

Четыре способа обратной проверки нулевого интеграла

Первый способ — подстановка −x. Для f(x)=x⁵−4x³+x получаем f(−x)=−x⁵+4x³−x=−f(x). Этот расчёт доказывает нечётность без построения графика. Второй способ — разбиение симметричного промежутка на [−a,0] и [0,a]; оба интеграла имеют противоположные значения. Третий способ — первообразная: у нечётного многочлена можно выбрать чётную первообразную с нулевой постоянной, и потому её значения на концах ±a совпадают.

Четвёртый способ — численная проверка для конкретной задачи, когда первообразную вычислить легко. Например, для f(x)=2x³−6x первообразная F(x)=x⁴/2−3x². На концах −2 и 2 она принимает одно и то же значение: 8−12=−4. Разность равна нулю. Этот способ показывает, почему проверять нужно оба конца. Однако проверка одного примера сама по себе не доказывает общий факт для всех нечётных интегрируемых функций; общую теорему обеспечивает симметрия.

Отличайте нулевой интеграл от равенства нулю функции

Подынтегральное выражение может быть отлично от нуля в каждой точке, кроме начала координат, но результат на симметричном отрезке равен нулю. Так происходит, например, для f(x)=x³ на [−1,1]. График имеет ненулевую геометрическую площадь под обеими половинами отрезка, но эти части входят в интеграл с противоположными знаками. Если взять абсолютное значение |x³|, обе части станут положительными и интеграл уже равен 1/2. Следовательно, замена f на |f| меняет смысл вычисления.

Нулевой интеграл возможен и у функции, которая не является нечётной. Рассмотрим f(x)=x²−1/3 на [−1,1]. Эта функция чётна, но положительный вклад интеграла от x² равен 2/3, и отрицательный вклад постоянной −1/3 также равен −2/3. Их сумма равна нулю. Поэтому утверждение «если интеграл на симметричном отрезке нулевой, то функция нечётная» опровергается конкретным контрпримером. В задачах проверяется достаточное условие, а не обязательная причина нуля.

Когда приём использовать нельзя

Не всякое выражение, удовлетворяющее формальному равенству f(−x)=−f(x), допускает обычный определённый интеграл через нуль. Функция 1/x не ограничена у нуля; интеграл в школьном смысле по [−1,1] не существует. Нельзя подменять его главной частью Коши и писать ответ 0 без дополнительного соглашения. Именно поэтому до применения свойства нечётности надо проверить область определения функции и условия существования интеграла. Это математическая, а не оформительская деталь.

Для самопроверки сформулируйте общее правило собственными словами: «Если f интегрируема на [−a,a] и f(−x)=−f(x), то ∫ от −a до a f=0». Затем назовите два примера, где хотя бы одно условие нарушается: для f(x)=x+2 нарушена нечётность, а для f(x)=x³ на [−1,2] нарушена симметрия отрезка. Эти примеры помогут не применять правило механически в следующей контрольной работе.

Наконец, важно не смешивать нулевой интеграл с отсутствием перемещения в прикладной модели. Интеграл скорости, меняющей знак, даёт алгебраическое перемещение, тогда как пройденный путь связан с интегралом модуля скорости. Этот пример показывает, почему знак интеграла и геометрическая площадь — разные величины даже на одном симметричном интервале. Для вычисления пути одной нечётности недостаточно: требуется рассмотреть модуль функции на каждой части области.