Определение знака интеграла при смене пределов интегрирования: диагностика ошибок, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1912

Цель карточки: безошибочно определять знак интеграла при перестановке границ и отличать нулевой случай.

Три быстрых контрольных вопроса

Цель — определить знак результата, не путая порядок границ со знаком функции. Во всех задачах интегралы существуют. Сначала дайте ответ «плюс», «минус» или «нуль», затем проверьте его по ключу.

1. Контроль 1. Если ∫ от 1 до 4 f(x)dx=7, каков знак ∫ от 4 до 1 f(x)dx?
2. Контроль 2. Если ∫ от −2 до 3 f(x)dx=−5, положителен ли обратный интеграл?
3. Контроль 3. Если ∫ от 0 до 5 f(x)dx=0, станет ли обратный интеграл отрицательным?

Девять заданий: найдите ошибку в знаке

4. Дано ∫ от 2 до 6 f=−9. Ученик поставил знак «минус» и после обратного хода. Исправьте.
5. Найдите знак ∫ от 5 до 2 (x+1)dx.
6. Установите знак ∫ от 3 до 0 (x−6)dx.
7. Сравните ∫ от −1 до 1 x²dx и ∫ от 1 до −1 x²dx.
8. Сравните ∫ от 0 до 2 (x−1)dx и ∫ от 2 до 0 (x−1)dx.
9. У f постоянное значение −4 на [1,3]. Укажите знак ∫ от 3 до 1 f(x)dx.
10. Верно ли: «если нижний предел больше верхнего, интеграл всегда отрицателен»?
11. Исходный интеграл A=4; после обмена пределов и одновременной замены f на −f чему равен B?
12. Дано ∫ от 1 до 3 f=−2. Найдите знак выражения −∫ от 3 до 1 f.

Ключ и короткие объяснения

1. Отрицательный: −7. Обмен пределов меняет знак.
2. Да: ∫ от 3 до −2 f=5, положительное число.
3. Нет. Он равен −0=0 и не имеет положительного или отрицательного знака.
4. При обратном порядке пределы 6 и 2 дают +9: минус перед отрицательным значением превращается в плюс.
5. Отрицательный. На [2,5] функция x+1 положительна; интеграл от 2 до 5 >0, обратный <0.
6. Положительный. На [0,3] x−6 отрицательно; при смене пределов знак меняется.
7. Первый 2/3>0, второй −2/3<0; первый больше.
8. Оба равны 0, потому что положительная и отрицательная части взаимно компенсируются; обмен границ сохраняет нуль.
9. Положительный: ∫ от 1 до 3 f=−8; после перестановки +8.
10. Нет. Для отрицательной функции, например f=−1, интеграл от 2 до 0 равен +2.
11. B=4. Две операции меняют знак по одному разу: (−1)·(−1)·4=4.
12. Отрицательный: ∫ от 3 до 1 f=2, а внешний минус делает −2.

Правило одной строки: ∫ от b до a f=−∫ от a до b f. Если старое значение равно −c, где c>0, новое равно +c. Если старое равно нулю, нового положительного или отрицательного знака не появится.

На что обратить внимание в ответах 6 и 9: порядок границ не определяет знак сам по себе. Функция может быть ниже оси, и её интеграл на обычном порядке окажется отрицательным; после смены пределов он станет положительным. Даже если функция меняет знак внутри, правило действует точно.

Две проверки для самостоятельной работы

После каждого задания задайте себе вопрос: исходный интеграл был больше, меньше или равен нулю? При смене пределов положительное число превращается в отрицательное и наоборот. Для нуля знак не появляется. Например, если ∫ от 0 до 3 f=−4, то обратный равен +4. Важна исходная величина интеграла, а не то, какой из пределов численно больше.

Проверьте правильность записи через первообразную: ∫ от a до b f=F(b)−F(a). При обратном порядке получается F(a)−F(b), то есть точное отрицание прежнего числа. Если знаки не согласуются, вернитесь к порядку вычитания и не пытайтесь определять ответ по одному лишь рисунку осей.