Проверка площади боковой поверхности для составного тела из нескольких частей: задачи с решениями для 11 класса

Практикум по стереометрии, 11 класс. Цель — отличить видимые боковые поверхности составного тела от полных поверхностей его частей и исключать внутренние контакты ровно тогда, когда они действительно боковые.

Схема расчёта и таблица данных

Для прямой призмы боковая площадь равна P · h, где P — периметр её основания. Для цилиндра она равна 2πrh. У тела из нескольких частей сначала обозначьте, какие грани видны снаружи; потом определите, какие поверхности соединения горизонтальные, а какие вертикальные.

Важно: термин «боковая поверхность» в этих задачах означает внешние вертикальные грани прямых брусьев или наружные кривые поверхности цилиндров. Верхние горизонтальные площадки, даже если они открыты, относятся к полной наружной поверхности, а не к боковой.

Проверка расчётов: 16 заданий

В первых восьми заданиях используйте таблицу как опору. В следующих укажите, из каких именно граней или дуг складывается результат. Ответы оставляйте точными; для цилиндров π не заменяйте десятичным приближением.

1. Два прямых прямоугольных бруса стоят один на другом: нижний 8 × 6 × 4 см, верхний 4 × 2 × 3 см. Проверьте утверждение: боковая площадь равна 148 см².

2. Нижний блок имеет основание 10 × 7 см и высоту 2 см; верхний — 6 × 3 см и высоту 5 см. Найдите площадь только видимых боковых граней.

3. Куб с ребром 5 см несёт сверху куб с ребром 3 см. Ученик получил 100 + 54 = 154 см². Объясните ошибку.

4. Два бруса шириной 3 и 5 см, глубиной 6 см и высотой 4 см склеены боковыми гранями. Ученик сложил их боковые площади и получил 160 см². Исправьте.

5. Два соседних блока шириной 2 и 7 см имеют общую глубину 4 см и высоту 3 см. Чему равна боковая площадь полученного бруса?

6. Цилиндр радиуса 4 см и высоты 7 см соединён сверху с меньшим цилиндром радиуса 2 см и высоты 3 см. Найдите видимую боковую площадь.

7. Цилиндр радиуса 3 см и высоты 6 см с цилиндром радиуса 1 см и высоты 5 см образуют ступенчатое тело. Проверьте ответ 46π см².

8. Ступенчатое тело построено из цилиндров (R = 5, H = 4) и (r = 3, h = 6). Как изменится расчёт, если ошибочно прибавить кольцо площади 16π см²?

9. Сумма боковых площадей двух брусьев, стоящих рядом, составляет 204 см², площадь общей вертикальной грани 27 см². Найдите внешнюю боковую площадь.

10. При склеивании двух призм боковая площадь уменьшилась с 198 до 150 см². Определите площадь общей боковой грани.

11. Ступенчатое тело состоит из нижнего бруса 7 × 5 × 3 и верхнего 3 × 2 × 4 см. Ученик вычел площадь контакта из суммы боковых поверхностей. Нужно ли это делать?

12. Брус 5 × 4 × 6 см разделили вертикально на две части и снова приставили их без зазора. Изменится ли внешняя боковая площадь?

13. Нижний цилиндр радиуса 6 см и высоты 2 см, верхний радиуса 2 см и высоты 8 см. Какой из них даёт большую долю боковой площади?

14. Два бруса стоят рядом и имеют общую вертикальную грань 5 × 3 см. Измерены боковые площади по отдельности 82 и 94 см². Правилен ли итог 176 см²?

15. Ученик нашёл полную площадь обоих брусьев и назвал сумму боковой. Как проверить ошибку без новых измерений?

16. Два цилиндра расположены ступенями: радиусы 4 и 1 см, высоты 5 и 7 см. Предложены ответы 54π и 47π см². Выберите верный.

Подробный ключ и пояснения

1. Верно: боковые грани нижнего бруса дают 2(8 + 6) · 4 = 112 см², верхнего — 2(4 + 2) · 3 = 36 см². Сумма 148 см². Горизонтальная площадка не является боковой гранью.

2. Нижний блок: 2(10 + 7) · 2 = 68; верхний: 2(6 + 3) · 5 = 90. Итого 158 см².

3. У второго куба 54 см² — полная площадь. Нужны четыре боковые грани: 4 · 3² = 36. Для нижнего 4 · 5² = 100. Верно 136 см².

4. Неправильно посчитаны две внутренние грани контакта площадью 6 · 4 = 24 каждая. 160 − 2 · 24 = 112 см². Можно сразу рассмотреть наружный брус 8 × 6 × 4: 2(8 + 6) · 4 = 112.

5. Наружное основание 9 × 4, высота 3. Получаем 2(9 + 4) · 3 = 78 см².

6. Для нижнего: 2π · 4 · 7 = 56π; для верхнего: 2π · 2 · 3 = 12π. Ответ 68π см². Кольцевая горизонтальная площадка сюда не входит.

7. Да: 2π · 3 · 6 + 2π · 1 · 5 = 36π + 10π = 46π см².

8. Правильная боковая площадь 2π · 5 · 4 + 2π · 3 · 6 = 76π. Добавленное кольцо лежит горизонтально и даёт завышенные 92π. Ошибка составляет 16π см².

9. 204 − 2 · 27 = 150 см². Грань контакта учитывается в сумме дважды, но снаружи отсутствует.

10. (198 − 150)/2 = 24 см². Уменьшение равно площади двух ставших внутренними граней.

11. Нет, контакт горизонтальный: в боковые площади этих двух прямых призм он первоначально не входил. Искомая сумма: 2(7 + 5) · 3 + 2(3 + 2) · 4 = 72 + 40 = 112 см².

12. Не изменится. После склейки тело имеет прежний внешний контур: 2(5 + 4) · 6 = 108 см². Искусственный внутренний разрез нельзя считать наружной гранью.

13. Нижний: 2π · 6 · 2 = 24π; верхний: 2π · 2 · 8 = 32π. Верхний даёт на 8π см² больше; вместе 56π см².

14. Нет. 82 + 94 − 2 · 15 = 146 см². Число 176 учитывает две скрытые грани.

15. Нужно разделить грани на горизонтальные основания и вертикальные боковые грани, затем исключить горизонтальные; для соединённых бок о бок частей также исключить две контактные грани. Сумма всех шести граней каждого бруса не равна боковой площади.

16. 2π · 4 · 5 + 2π · 1 · 7 = 40π + 14π = 54π см². 47π не получается из корректного сложения боковых площадей.

Что проверяет учитель

За правильное численное значение без указания видимых граней не следует ставить максимальный балл в задачах 3, 4, 8, 11 и 15: там требуется объяснить, какая поверхность оказалась лишней. Частая ошибка — дважды вычесть горизонтальный контакт при вычислении только боковой поверхности ступенчатых блоков. Перед исправлением спросите: входила ли эта грань в исходную сумму?

Как работать с карточкой. Решите задания до чтения ключа; после проверки обязательно объясните, какая поверхность учтена и почему. Ответы даны в квадратных единицах. Число π оставлено точным: приближение не требуется.