Сравнение площади полных поверхностей при заданной площади сечения — задачи с решениями для 11 класса

Исследовательская карточка, 11 класс. Можно ли сравнить площади полных поверхностей двух тел, если известна только площадь одного сечения? Не всегда: ответ зависит от формы тела и того, каким именно сечением мы располагаем. Эта работа учит отмечать недостающие данные вместо догадок.

Задача-наблюдение

Пусть у шара площадь центрального кругового сечения A, а у куба площадь сечения, параллельного грани, тоже A. Для шара S=4A, для куба S=6A. Следовательно, при равном A площадь поверхности куба больше. Но это не универсальное сравнение двух произвольных тел: в нём заранее указаны формы и ориентации сечений.

Гипотеза и контрпример

Гипотеза «равные площади сечений означают равные полные площади» неверна. Достаточно сравнить шар и куб из таблицы с A=36 см²: получатся 144 и 216 см². Для цилиндра одной величины A недостаточно: при фиксированном радиусе увеличение высоты увеличивает боковую площадь, но не изменяет сечение, параллельное основанию.

Примените правило к новым данным

1. Сечение шара центральной плоскостью имеет площадь 36π см². Найдите площадь поверхности шара.

2. Сечение куба плоскостью, параллельной грани, имеет площадь 36 см². Сравните S куба с числом 180 см².

3. Центральное сечение шара площадью 49π см². Найдите S поверхности и радиус.

4. Сечение куба, параллельное грани, равно 25 см². Определите его полную площадь поверхности.

5. Осевое прямоугольное сечение цилиндра не дано, но сечение плоскостью, параллельной основаниям, равно 16π см². Высота цилиндра 6 см. Найдите S.

6. Для цилиндра площадь сечения, параллельного основанию, равна 9π см²; высота 5 см. Проверьте S=48π см².

7. Сечение основания прямого конуса площадью 25π см², образующая 13 см. Найдите его полную площадь.

8. У другого конуса с тем же типом сечения A=9π см² и образующей 5 см. Найдите S.

9. Сравните цилиндр r=5, h=5 см с конусом r=5, l=13 см: у обоих площадь сечения в плоскости основания 25π см².

10. Сфера и куб имеют численно одинаковые площади названных сечений A=36 см². Как соотносятся полные площади?

11. У цилиндра h=r и A=πr² для поперечного сечения. Выразите S через A.

12. У цилиндра h=2r и A=πr². Сравните площадь его поверхности с площадью куба, чьё параллельное грани сечение равно A.

13. При фиксированном поперечном сечении A=16π см² два цилиндра имеют высоты 3 и 9 см. Можно ли определить, какой имеет большую S?

14. Сечение куба, параллельное грани, равно 64 см². У другого куба соответствующее сечение 81 см². Сравните полные поверхности.

Ответы, вычисления и проверка условий

1. Площадь большого круга A=πr²=36π; r=6, поверхность шара S=4πr²=144π см².

2. Такое сечение — квадрат стороны a, a²=36, a=6. S=6a²=216 см², больше 180 на 36 см².

3. r=7, S=4·49π=196π см².

4. Ребро a=5, поверхность S=6·25=150 см².

5. πr²=16π, r=4. S=2πr²+2πrh=32π+48π=80π см².

6. r=3, S=2·9π+2π·3·5=18π+30π=48π см²; ответ верен.

7. r=5, S=πr²+πrl=25π+65π=90π см². Здесь указано сечение плоскостью основания.

8. r=3, S=9π+15π=24π см².

9. Цилиндр S=2·25π+2π·5·5=100π; конус S=25π+65π=90π. Цилиндр больше на 10π см², хотя площади указанных сечений равны.

10. Для центрального сечения шара S=4A=144 см²; для сечения куба параллельно грани S=6A=216 см². Куб больше на 72 см². A здесь одинаковое число с указанными единицами.

11. S=2πr²+2πr·r=4πr²=4A. Это соотношение зависит от условия h=r.

12. Для цилиндра S=2A+4A=6A. Для куба S=6A. Площади совпадают при одинаковых численных A и согласованных единицах.

13. r=4 у обоих. S₁=32π+24π=56π, S₂=32π+72π=104π см². Второй больше на 48π.

14. S₁=6·64=384, S₂=6·81=486 см². Второй куб больше на 102 см².

Что важно в доказательстве

Каждое решение начинается с указания плоскости сечения. У шара произвольное сечение не обязано проходить через центр, а у призмы наклонное сечение не обязано совпадать с основанием. Не подставляйте площадь произвольного сечения в формулы из таблицы. Если дана площадь одного сечения без указания его положения, найти площадь всей поверхности, как правило, нельзя.

В задачах 9–13 одинаковая площадь поперечного сечения не означает одинаковый расход материала. В задаче 12 равенство поверхностей цилиндра и куба получилось из дополнительных условий h=2r и указанных ориентаций сечений. Это удачный частный случай, но не общая теорема.

Самопроверка рассуждения: сформулируйте вслух, что известно, чему равно A, какие дополнительные размеры заданы и почему применимы выбранные формулы. Если один из этих шагов пропущен, решение неполно.

Исследовательские подсказки к задачам с неполными данными

Прежде чем вычислять поверхность, запишите обозначение плоскости сечения. Для шара только центральное сечение — большой круг радиуса исходного шара; сечение плоскостью на расстоянии от центра имеет меньший радиус. Поэтому из площади произвольного кругового сечения нельзя однозначно восстановить радиус шара. У куба сечение, параллельное грани, является квадратом со стороной ребра; наклонное сечение может оказаться многоугольником с другой площадью. Эти детали должны быть явно оговорены в условии.

Для цилиндра равенство A=πr² фиксирует только радиус. Пусть A=16π см², тогда r=4 см. При высоте 3 см полная площадь равна 2·16π+2π·4·3=56π см², а при высоте 9 см уже 104π см². Поперечные сечения двух цилиндров равны, но внешние поверхности отличаются почти вдвое. Это конструктивный контрпример к правилу «одно и то же сечение — одна и та же поверхность».

В задачах с конусом образующая должна удовлетворять l>r для невырожденного прямого конуса. Например, если основание имеет площадь 25π, то r=5 см. Значение l=4 см невозможно; l=13 см даёт правильный конус, причём его высота равна √(13²−5²)=12 см. Полная поверхность будет 25π+65π=90π см². Такая обратная проверка предотвращает получение формально положительной, но геометрически невозможной площади.

Чтобы сравнение было доказательным, держите единицы измерения одинаковыми. У шара с центральным сечением 36 см² поверхность 144 см²; у куба с сечением, параллельным грани, той же площади — 216 см². Данные взяты без π в записи A: в первом случае радиус шара определяется как √(36/π), и это допустимо. Формула S=4A работает без требования, чтобы площадь сечения обязательно была целым кратным π.

Рекомендация для решения задач на сравнение: (1) назовите геометрическое тело; (2) уточните вид сечения; (3) найдите размер, который действительно определяется из A; (4) выпишите недостающие размеры; (5) лишь после этого применяйте формулу S. Если на четвёртом шаге обнаружится неизвестная высота цилиндра или образующая конуса, правильный вывод — данных недостаточно. Это тоже полноценный математический ответ, а не недорешённая задача.

Как работать с карточкой. Решите задания до чтения ключа; после проверки обязательно объясните, какая поверхность учтена и почему. Ответы даны в квадратных единицах. Число π оставлено точным: приближение не требуется.