Поиск лишней поверхности в развёртке при упаковке в форму призмы — мини-практикум с ответами, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1955

Учебная цель: доказывать, какая грань избыточна в развёртке упаковки, не путая грань, клапан и ошибку расположения деталей.

Сомнительное утверждение: «чем больше прямоугольников, тем надёжнее коробка»

Для упаковки в форме прямоугольной призмы эта фраза неверна: шесть прямоугольных граней описывают всю замкнутую оболочку, а для короба без крышки достаточно пяти. Лишняя полная грань — не то же самое, что небольшой клапан для склейки. Клапан относится к расходу материала, но не является седьмой геометрической гранью готового изделия.

Как доказать, что грань действительно лишняя

Возьмём основание a × b и высоту h. Замкнутая оболочка состоит из двух оснований площадью ab каждое и четырёх боковых граней: двух ah и двух bh. Получаем S = 2ab + 2ah + 2bh. Для открытого сверху короба крышки нет, поэтому S = ab + 2ah + 2bh. Если известен размер каждой детали, сначала разложите их по трём типам и только после этого сравнивайте количества.

Рабочая серия: найдите дублирующий элемент и докажите

1. Закрытый короб 4 × 3 × 2 см. На развертке указано 64 см² вместо положенных граней. Какую целую грань могли прибавить лишний раз?
2. Для открытого сверху короба с основанием 5 × 4 см и высотой 6 см выписаны все шесть граней. Какая грань избыточна, на сколько уменьшится площадь картона?
3. Для кубической закрытой коробки с ребром 3 см предложили семь квадратов 3 × 3 см. Достаточно ли подсчёта площади для построения корректной развёртки?
4. Призма 6 × 2 × 4 см: после добавления ещё одного прямоугольника 6 × 2 см получился шаблон площадью 100 см². Найдите избыток.
5. Для призмы с основанием 4 × 3 см и высотой 5 см ученик подсчитал: 2·12+2·20+2·15+12. Какую часть надо убрать?
6. Нижний картонный лоток имеет дно 3 × 3 см и боковые стенки высотой 4 см. В раскрое есть ещё квадрат 3 × 3 см. Обоснуйте лишний элемент.
7. Закрытая призма 8 × 5 × 2 см. Среди деталей есть три прямоугольника 5 × 2 см вместо двух. Найдите правильную и указанную суммарную площадь.
8. Набор граней: два прямоугольника 2 × 3 см, два 2 × 5 см, два 3 × 5 см и ещё один 2 × 3 см. Укажите лишнюю деталь.
9. Набор для короба содержит шесть правильных граней площадью 62 см² и клеевой клапан площадью 2 см². Надо ли отбрасывать клапан как «седьмую грань»?
10. Для закрытого бруска 5 × 4 × 3 см рассчитали 114 см². Установлено, что добавлена ровно одна целая грань. Какая?
11. Заготовка для закрытой призмы 2 × 4 × 6 см содержит две грани 2 × 4, две 2 × 6 и три 4 × 6. Сколько материала лишнее?
12. Нарисованы шесть прямоугольных граней требуемых размеров, однако две из них накладываются при сгибании. Можно ли сказать, что лишняя грань присутствует?

Ключ и разбор решений

1. Площадь оболочки 2(12+8+6)=52 см². Разница 12 см² совпадает с гранью 4 × 3 см. Лишняя именно одна такая прямоугольная грань, если других ошибок в раскрое нет.
2. Отсутствует крышка 5 × 4 см площадью 20 см². Нужны дно и четыре боковые грани: 20+2·30+2·24=128 см². Шестая грань была лишней.
3. Нужны ровно шесть квадратных граней общей площадью 54 см²; седьмой квадрат добавляет 9 см². Но даже шесть квадратов могут быть расположены так, что при сгибании перекроются: требуется также проверить соседство.
4. Шесть исходных граней имеют площадь 2(12+24+8)=88 см². Добавленный прямоугольник даёт 12 см², поэтому суммарно 100 см². Для закрытой призмы он не нужен.
5. Последнее +12: третье основание 4 × 3 см. Правильная площадь шести граней равна 94 см², а с лишним основанием ошибочно выходит 106 см².
6. У открытого лотка пять лицевых элементов: дно 9 см² и четыре стенки по 12 см². Всего 57 см². Второй квадрат 9 см² является ненужной верхней крышкой.
7. Правильная площадь 2(40+16+10)=132 см². Третья грань 5 × 2 см добавляет 10 см², получаем 142 см². Нужно исключить один прямоугольник 5 × 2 см.
8. Для закрытой прямоугольной призмы 2 × 3 × 5 нужны ровно две детали каждого вида. Третий прямоугольник 2 × 3 см избыточен; его площадь 6 см². Корректный итог 62 см².
9. Нет. Клапан не является поверхностью готовой призмы: он служит для соединения и скрывается под соседним картоном. Для наружной площади по-прежнему 62 см²; для расхода картона с клапаном — 64 см².
10. Полная поверхность равна 2(20+15+12)=94 см². Избыток 20 см²; это грань 5 × 4 см. Если условие про одну лишнюю целую грань убрать, одной разности площадей для однозначного вывода может оказаться недостаточно.
11. Лишняя большая грань 4 × 6 см, то есть 24 см². Правильная оболочка 2(8+12+24)=88 см²; в неверной заготовке 112 см², не считая клапанов.
12. Нет. Количество и площади деталей правильны. Ошибка состоит в их взаимном расположении в плоской выкройке; нужно перестроить сеть смежных граней. Площадь при этом не изменится.

Проверка особых случаев и вывод

В математической модели складной упаковки площадь оболочки и площадь вырезаемого листа не всегда равны. На листе могут присутствовать клапаны, припуски на сгиб и технологические отверстия; поэтому прибавка к расходу картона не доказывает наличия лишней лицевой грани. В задачах 9 и 12 эта разница принципиальна: нельзя удалять деталь без выяснения её назначения и расположения.

Сравнение с формулой площади служит первой проверкой, но не заменяет проверку того, образует ли схема настоящую развёртку. Например, шесть квадратов правильного размера могут составить негодную сеть куба. В этом случае ошибка не в количестве деталей, а в их соседстве. Если площади сходятся, попробуйте мысленно согнуть выкройку и проверить отсутствие перекрытий.

Учителю: в ответах учащихся требуйте не только название лишней грани, но и три шага рассуждения — список требуемых пар граней, найденный избыток площади и заключение об исключении детали. Для задания про открытую коробку дополнительно проверяйте, чтобы школьник не убрал дно вместо крышки. Конкретное положение открытой стороны должно быть дано в условии.

Перед самостоятельной работой предложите ученику сформулировать контрпример утверждению «избыток материала всегда означает лишнюю грань»: достаточно корректного короба с клеевым клапаном. Затем предложите другой контрпример: шесть граней нужной площади могут быть соединены так, что их развёртка не складывается без наложения. Это показывает границы одного лишь числового контроля.

Пошаговый контроль без сложного чертежа

Сначала составьте паспорт упаковки: какие размеры основания, какая высота, закрыто ли верхнее отверстие. Затем выпишите число плоских поверхностей каждого размера. Для прямоугольной призмы пары одинаковых прямоугольников обязательны в закрытом варианте. Сравните список с предложенным раскроем и отметьте только те детали, которые действительно играют роль наружных граней. Если обнаружен один лишний прямоугольник, его площадь должна совпасть с числовой разностью между площадью заготовки из граней и теоретической площадью оболочки.

Важно различать два результата: количество лишних деталей и их площадь. В наборе для призмы может оказаться две лишние детали общей площадью 18 см², но на вопрос «сколько граней лишнее?» правильным ответом будет «две». Обратное утверждение тоже неверно: из одной разности площадей нельзя однозначно восстановить число и размеры лишних граней, если о них ничего больше не известно. Для однозначности нужен список деталей, их размеры или ограничение «прибавлена ровно одна целая грань».

Для развёртки призмы с неправильным основанием число боковых граней зависит от числа сторон основания. Наши формулы 2ab+2ah+2bh относятся только к прямоугольной призме с прямыми двугранными углами и прямоугольными гранями. Переносить их на любую треугольную призму без изменения количества граней нельзя. Поэтому прежде всего следует установить форму основания, а уже затем считать состав развёртки.