Поиск лишней поверхности в развёртке для составного тела из нескольких частей — рабочий лист для 11 класса

Математика • 11 класс • MATH-1956

Учебная цель: устранять двойной подсчёт контактных граней в развёртке составного тела и проверять результат геометрически.

Маршрут от одной коробки к составному телу

Вы видите два прямоугольных блока, которые в мастерской соединяют в единое изделие. Самая частая ошибка: просто сложить их площади поверхности. При этом две совпадающие площадки внутри соединения ошибочно считают наружными. В рабочих чертежах их иногда показывают как лишние части развёртки. Наша задача — сначала узнать площадь фактического контакта, затем убрать из суммы ровно две внутренние стороны.

Лёгкий старт: сравните одну и две детали

Если две детали склеены по одной площадке площади A, в сумме их прежних полных поверхностей эта площадка учтена дважды. После соединения обе её стороны скрыты, поэтому Sнаруж = S₁ + S₂ − 2A. Это справедливо и для сложного тела неправильной формы, если точно известны поверхности деталей, площадь контакта и отсутствуют накладывающиеся зоны контакта.

Пример: бруски 2 × 3 × 4 и 2 × 3 × 5 см имеют площади 52 и 62 см². Контакт по площадке 2 × 3 см скрывает по 6 см² с каждой стороны. Получаем S=52+62−12=102 см². Проверка через единую призму 2 × 3 × 9 см даёт то же число.

Развилка «верно или ошибка»

• Верно: если склеенные площадки совпадают полностью, каждая входит в исходную сумму дважды и исчезает из наружной поверхности.
• Ошибка: вычитать только одну площадку A, поскольку её якобы видно с одной стороны. После соединения не видно ни одной из двух.
• Ошибка: заменять фактическую площадь контакта всей площадью боковой стенки, когда детали соприкасаются лишь частично.
• Верно: при нескольких непересекающихся контактных площадках можно вычесть удвоенную сумму их площадей.

Ступень 1 — рассчитайте по формуле

1. Два прямоугольных блока с основанием 2 × 3 см и высотами 4 и 5 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
2. Два прямоугольных блока с основанием 3 × 4 см и высотами 2 и 6 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
3. Два прямоугольных блока с основанием 2 × 5 см и высотами 3 и 7 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
4. Два прямоугольных блока с основанием 4 × 4 см и высотами 3 и 2 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
5. Два прямоугольных блока с основанием 1 × 6 см и высотами 4 и 5 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
6. Два прямоугольных блока с основанием 3 × 5 см и высотами 2 и 3 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.

Ступень 2 — проверьте другие размеры

7. Два прямоугольных блока с основанием 4 × 6 см и высотами 1 и 2 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
8. Два прямоугольных блока с основанием 2 × 2 см и высотами 5 и 8 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
9. Два прямоугольных блока с основанием 3 × 7 см и высотами 2 и 4 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
10. Два прямоугольных блока с основанием 5 × 5 см и высотами 1 и 3 см склеивают по полным основаниям. Найдите площадь внешней оболочки и исключённую из двух развёрток площадь.
11. Два куба ребра 3 см соприкасаются всей гранью. Сколько граней осталось видимыми и какова площадь внешней поверхности?
12. К боковой стенке бруска приложили другой блок: площадь точного контакта 8 см², но площади двух свободных блоков 74 и 62 см². Найдите внешнюю площадь.

Ступень 3 — исключения и ошибки при чтении развёртки

13. У двух тел общая наклеенная площадка 6 см², но одна деталь имеет сквозное отверстие точно по этой площадке. Можно ли механически применить вычитание 2·6?
14. К двум закрытым блокам, имевшим суммарную площадь 204 см², третьим блоком приклеили две отдельные поверхности по 5 и 7 см². Сколько вычесть?
15. Три одинаковых куба с ребром 2 см поставили в одну прямую цепочку. Сколько всего внутренних квадратов исчезло?
16. Три куба ребра 2 см соединяют в форме буквы Г: средний касается каждого из двух других по одной полной грани, крайние друг друга не касаются. Найдите внешнюю площадь.
17. Две прямоугольные детали соприкасаются только на площадке 3 × 2 см, хотя их лицевые стороны имеют по 4 × 5 см. На сколько надо уменьшить сумму площадей?
18. Схема раскроя для составного тела включает одну внутреннюю площадку 9 см² лишь один раз, а другую её сторону забыли добавить. Можно ли ещё вычесть 18 см² из такого списка?

Ключ и разбор решений

1. Площади отдельных блоков: 52 и 62 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 6 см², значит исключаем 12 см². Внешняя площадь 52+62−12=102 см². Контроль: это призма 2 × 3 × 9 см.
2. Площади отдельных блоков: 52 и 108 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 12 см², значит исключаем 24 см². Внешняя площадь 52+108−24=136 см². Контроль: это призма 3 × 4 × 8 см.
3. Площади отдельных блоков: 62 и 118 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 10 см², значит исключаем 20 см². Внешняя площадь 62+118−20=160 см². Контроль: это призма 2 × 5 × 10 см.
4. Площади отдельных блоков: 80 и 64 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 16 см², значит исключаем 32 см². Внешняя площадь 80+64−32=112 см². Контроль: это призма 4 × 4 × 5 см.
5. Площади отдельных блоков: 68 и 82 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 6 см², значит исключаем 12 см². Внешняя площадь 68+82−12=138 см². Контроль: это призма 1 × 6 × 9 см.
6. Площади отдельных блоков: 62 и 78 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 15 см², значит исключаем 30 см². Внешняя площадь 62+78−30=110 см². Контроль: это призма 3 × 5 × 5 см.
7. Площади отдельных блоков: 68 и 88 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 24 см², значит исключаем 48 см². Внешняя площадь 68+88−48=108 см². Контроль: это призма 4 × 6 × 3 см.
8. Площади отдельных блоков: 48 и 72 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 4 см², значит исключаем 8 см². Внешняя площадь 48+72−8=112 см². Контроль: это призма 2 × 2 × 13 см.
9. Площади отдельных блоков: 82 и 122 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 21 см², значит исключаем 42 см². Внешняя площадь 82+122−42=162 см². Контроль: это призма 3 × 7 × 6 см.
10. Площади отдельных блоков: 70 и 110 см². Совпадающая контактная пара состоит из двух граней по 25 см², значит исключаем 50 см². Внешняя площадь 70+110−50=130 см². Контроль: это призма 5 × 5 × 4 см.
11. Всего было 12 квадратных граней, две стали внутренними, поэтому внешних граней в исходном подсчёте 10. Площадь 12·9−2·9=90 см². Как единое тело это брусок 3 × 3 × 6 см.
12. Один и тот же контакт представлен двумя внутренними поверхностями, исключается 2·8=16 см². Ответ: 74+62−16=120 см². Не следует вычитать 8 только один раз.
13. Нет без уточнения геометрии: отверстие меняет исходные площади поверхностей и то, что реально соприкасается. Формула Sнаруж = S1+S2−2A применима, когда S1 и S2 — исходные полные внешние площади, а A — площадь двух совпадающих поверхностей, которые после соединения стали внутренними.
14. Если каждая контактная площадка уникальна, участки не накладываются и исходные площади посчитаны до склеивания, вычитается 2·(5+7)=24 см². Внешняя площадь 180 см².
15. Два соединения по одной паре квадратных граней. Площадь исключения 2 соединения · 2 грани · 4 см² = 16 см². Отдельные кубы дают 3·24=72 см², внешняя поверхность 56 см².
16. Два отдельных соединения дают 16 см² скрытых граней, как и в цепочке. Ответ: 72−16=56 см². Но геометрическая форма уже не прямоугольная призма; считать её поверхностью одного бруска нельзя.
17. Внутренними становятся лишь совпадающие 6 см² каждой детали, не все их 20 см². Уменьшение равно 12 см². Вычитание 40 см² было бы ошибкой.
18. Нельзя. Корректная формула −2A относится к сумме полных поверхностей обеих исходных деталей. Если в составленном списке первая контактная сторона уже отсутствует, остаётся вычесть только одну включённую сторону 9 см², иначе получим двойную ошибку.

Итоговая самопроверка

Проведите рядом с каждой задачей два независимых расчёта, если составное тело случайно является большим прямоугольным бруском: через отдельные оболочки с вычитанием и через размеры получившейся призмы. В случае Г-образного тела второй метод в такой простой форме уже неприменим. Подобная проверка объясняет не только ответ, но и ограничения используемой модели.

Обратите внимание на слово «лишняя». Для чертежа составного тела лишними являются изображения поверхностей, оказавшихся внутри после соединения. Но если задача спрашивает расход картона для двух отдельно изготовленных коробок, внутренние грани могли быть действительно вырезаны и использованы; количество потраченного материала не обязано совпадать с геометрической площадью внешней оболочки собранного тела.

Учителю: требуйте, чтобы ученик явно подписывал единицы см² и объяснял множитель 2 перед площадью контакта. Для задач с несколькими касаниями предложите выделять каждую пару взаимодействующих поверхностей отдельным цветом на черновом эскизе, без рисования сложной развёртки. Это помогает не исключить одну и ту же поверхность дважды.