Поиск лишней поверхности в развёртке при заданной площади сечения: самостоятельная работа, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1957

Учебная цель: по площади заданного сечения определять исключаемые внутренние поверхности и не путать её с полной площадью призмы.

Экспресс-диагностика: три вопроса до вычислений

1. Две половины прямой призмы склеивают по сечению площадью 14 см². Сколько см² из суммы поверхностей исчезает?
2. У двух частей площадь сечения 7,5 см². Найдите суммарную площадь двух «лишних» поверхностей.
3. Сумма площадей раздельных частей 180 см², площадь общей контактной плоскости 12 см². Чему равна внешняя площадь?

Один и тот же геометрический разрез создаёт две поверхности у двух отделённых частей. Если части вновь плотно соединяются, эти поверхности уходят внутрь. Для стыка площадью A исчезает ровно 2A из суммы полных внешних поверхностей частей. Если части ещё не соединены, удалять ничего не надо.

Новые задания: сечение задано числом, нужна корректировка раскроя

4. Три блока в одну цепочку: каждый из двух стыков имеет сечение 9 см². На сколько уменьшается сумма полных поверхностей?
5. Две части призмы с треугольным сечением площадью 11 см² склеены по этому сечению. Сколько см² внутренней поверхности не учитывают?
6. Площадь сечения 16 см². Но части лежат раздельно на столе. Сколько «лишних» внешних граней надо убирать?
7. После склеивания двух деталей общая внешняя поверхность уменьшилась на 26 см². Чему равна площадь одного плоского контакта?
8. Срез площадью 12 см² лежит внутри собранного тела, но в ошибочном подсчёте уже исключена одна сторона среза. Сколько ещё вычесть?
9. При склейке пяти блоков в линейную цепочку четыре одинаковых стыка по 4 см². Каков общий скрытый вклад?
10. Площадь сечения A=18 см², из готового изделия удалили внутреннюю перегородку, которую до этого учитывали только один раз. Какова корректировка?
11. В задании сообщена только площадь поперечного сечения призмы 10 см². Можно ли найти всю площадь внешней оболочки без высоты и периметра?
12. Сумма поверхностей трёх отдельных частей 250 см². Они соединены по двум контактам 8 и 5 см². Сколько останется снаружи?

Краткий ключ с обоснованиями

1. 28 см²: обе внутренние стороны сечения по 14 см². Формула 2A относится именно к двум отдельно учтённым поверхностям.
2. 2·7,5=15 см². Единицы остаются квадратными, потому что речь о площади, не о длине шва.
3. 180−2·12=156 см², если других скрытых соприкосновений нет.
4. Стыков два, каждый скрывает по две поверхности. Уменьшение 2·2·9=36 см².
5. 22 см². Форма треугольного сечения не влияет на правило: исключаются обе копии контактной фигуры.
6. Ни одной: поверхности срезов видимы и входят в полные площади отдельных тел. Вычитать 32 см² нельзя, пока их не соединили.
7. A=26/2=13 см². Обратная проверка: 2·13=26.
8. Ещё 12 см², а не 24 см². В исходном подсчёте осталась одна скрытая сторона.
9. Четыре стыка, на каждом по две грани: 4·2·4=32 см².
10. 18 см², поскольку в текущем списке перегородка фигурировала одной поверхностью. Умножение на два было бы верно лишь для двух исходных копий, а не для одной записанной перегородки.
11. Нет. Для прямой призмы S=Pосн·h+2A; площадь A сама по себе не определяет Pосн и высоту h. Но если известен именно факт склеивания двух частей по всему этому сечению, скрытая площадь равна 2A=20 см².
12. 250−2(8+5)=224 см². Проверяем: из суммы удалены 16+10=26 см² двух внутренних пар.

Оценка: 1 балл за каждое обоснованное решение, всего 12. Ошибка «вычесть только A» означает, что забыта вторая половина разреза; ошибка «вычесть 2A при уже исключённой одной поверхности» означает двойной счёт. Если площадь сечения известна, а высота призмы нет, можно вычислить корректировку по стыку, но нельзя восстановить всю внешнюю площадь тела.

Для задач 6 и 10 главное — внимательно прочитать, какие поверхности уже включены в стартовую сумму. Формулы не заменяют содержания условия. Расход листового материала и площадь наружной оболочки готового изделия также различны, если изделие изготавливают из отдельных закрытых коробок.