Задачи на совместное наполнение резервуара — карточки по математике для 5 класса

Класс: 5. Назначение: лист для урока, самостоятельной работы и домашнего повторения. Ответы находятся в конце материала, отдельно от заданий.

В резервуар вода поступает через два крана. Каждый кран пропускает одинаковое количество литров за минуту. Изменение уровня воды пока не влияет на скорость, а утечек нет. Сначала выясните, что известно: скорость каждого потока, продолжительность, вместимость или недостающий объём.

Схема и единицы измерения

Если первый кран даёт 12 л/мин, а второй 8 л/мин, то вместе за минуту поступает 20 л, а за 5 минут — 100 л. Таблица помогает не путать литры, минуты и литры в минуту.

Для полного заполнения пустого резервуара разделите вместимость на сумму скоростей. Если часть воды уже была внутри, сначала найдите недостающий объём. Если краны открывали в разное время, записывайте отдельные промежутки.

Карточка А. Таблица потока и времени

Заполните схему «скорость первого + скорость второго → за минуту → за всё время». В задачах на время используйте деление, а не умножение. Указывайте единицы: ответ «6» без слова «минут» считается неполным.

1. Краны подают 12 и 18 л/мин. Сколько литров поступит за 4 минуты?
2. Скорости 15 и 25 л/мин. Сколько воды добавится за 6 минут?
3. Первый кран подаёт 21 л/мин, второй 14 л/мин. Каков общий поток за минуту?
4. При двух открытых кранах поступает 36 л/мин. Сколько литров прибавится за 7 минут?
5. Пустой бак вместимостью 240 л заполняется кранами по 16 и 24 л/мин. Сколько минут потребуется?
6. Вместимость резервуара 360 л; скорости 20 и 25 л/мин. Найдите время полного заполнения.

Карточка Б. Рассуждения об остатке и включении кранов

Сначала определите, пуст ли бак. Если не пуст, вычтите уже имеющуюся воду; если кран открылся позднее, рассчитайте добавленное им количество только за соответствующие минуты. В пункте 16 потребуется перевести долю минуты в секунды: одна минута содержит 60 секунд.

7. В баке уже есть 80 л, его вместимость 320 л. Два крана подают 18 и 22 л/мин. За сколько минут бак заполнится?
8. В резервуаре 50 л воды, вместимость 200 л. Краны подают 10 и 15 л/мин. Через сколько минут вода дойдёт до края?
9. Два крана подают 13 и 17 л/мин. В пустой бак вместимостью 240 л вода поступала 5 минут. Сколько литров остаётся долить?
10. Бак на 500 л был пуст. При скоростях 24 и 26 л/мин оба крана работали 7 минут. Каков незаполненный объём?
11. Через два крана за 4 минуты поступило 176 л. Первый даёт 19 л/мин. Найдите скорость второго.
12. Два крана вместе наполняют 280-литровый бак за 7 минут. Скорость одного 18 л/мин. Сколько даёт другой?
13. Первый кран подавал 20 л/мин 3 минуты, потом включили второй на 15 л/мин. Оба работали ещё 4 минуты. Сколько всего литров поступило?
14. Первый кран работал 2 минуты со скоростью 16 л/мин, затем его не закрывали, но на следующие 5 минут открыли второй кран со скоростью 24 л/мин. Найдите общий объём поступившей воды.
15. Из 400-литрового резервуара изначально было занято 100 л. Краны дают 12 и 18 л/мин. После 8 минут их закрыли. Сколько места осталось?
16. При скоростях 28 и 12 л/мин бак должен получить 240 л воды. Через 4 минуты первый кран закрыли. Сколько ещё времени должен работать только второй?

Карточка В. Самостоятельный контроль

Решите без просмотра образца. Для каждого задания составьте краткую запись с величинами в л, л/мин и мин. Отметьте, сколько действий потребовалось, и проверьте, может ли получившийся объём поместиться в бак.

17. В резервуар надо долить 300 л. Скорости двух кранов 25 и 35 л/мин. Сколько минут понадобится?
18. Краны работают со скоростями 16 и 14 л/мин. Сколько литров поступит за 9 минут?
19. В баке 75 л, вместимость 375 л, скорости 18 и 12 л/мин. Заполнится ли он за 10 минут?
20. Первый кран даёт 9 л/мин, второй 21 л/мин. Сколько литров из 360 будут набраны за 8 минут и сколько ещё останется?
21. Пустой бак на 420 л заполняют за 7 минут. Один кран даёт 26 л/мин. Найдите скорость второго.
22. Бак вместимостью 600 л содержит 120 л. Сначала 3 минуты работал кран 20 л/мин, затем ещё 7 минут одновременно два крана 20 и 40 л/мин. Заполнен ли бак?

Критерии быстрой проверки

• 1 балл — верно выбран порядок действий; 1 балл — арифметика и единицы без ошибок. Для многошаговых задач можно поставить 1 дополнительный балл за пояснение этапов.
• После решения задач 5, 6, 7, 8, 17 и 21 умножьте найденное время на суммарную скорость и сравните результат с нужным объёмом.
• Обсудите, почему большой резервуар не обязательно наполняется долго: значение имеет и суммарная скорость двух потоков.

Как распечатать: распечатайте страницу до раздела «Ответы и проверка», а ключ оставьте себе. Поля для вычислений ученик может вести в тетради. Для проверки сначала сравните способ решения, затем число.

Ответы и проверка (для учителя и родителя)

1. (12 + 18) × 4 = 120 л.
2. (15 + 25) × 6 = 240 л.
3. 21 + 14 = 35 л/мин.
4. 36 × 7 = 252 л.
5. 240 : (16 + 24) = 6 мин.
6. 360 : (20 + 25) = 8 мин.
7. (320 − 80) : (18 + 22) = 6 мин.
8. (200 − 50) : (10 + 15) = 6 мин.
9. 240 − (13 + 17) × 5 = 90 л.
10. 500 − (24 + 26) × 7 = 150 л.
11. 176 : 4 − 19 = 25 л/мин.
12. 280 : 7 − 18 = 22 л/мин.
13. 20 × 3 + (20 + 15) × 4 = 200 л.
14. 16 × 2 + (16 + 24) × 5 = 232 л.
15. 400 − 100 − (12 + 18) × 8 = 60 л.
16. За 4 мин получено 160 л; осталось 80 л. 80 : 12 = 6 мин 40 с. (Если считаете только полные минуты, нужно 7 полных минут, но вода достигнет края раньше.)
17. 300 : (25 + 35) = 5 мин.
18. (16 + 14) × 9 = 270 л.
19. Осталось 300 л; (18 + 12) × 10 = 300 л. Да, точно за 10 мин.
20. (9 + 21) × 8 = 240 л; 360 − 240 = 120 л.
21. 420 : 7 − 26 = 34 л/мин.
22. 120 + 20 × 3 + (20 + 40) × 7 = 600 л. Заполнен точно.

Вариант для коррекции: тем, кто ошибся в задачах 7–10, предложите предварительно подписывать «нужно долить»; тем, кто ошибся в задачах 13–16, выделять разные временные этапы цветными скобками прямо в тетради. Если запись времени с секундами не изучена, задачу 16 можно дать как дополнительную.

Почему нельзя всегда делить вместимость на скорость первого крана

Иногда ученики видят в условии «за 7 минут» и сразу делят вместимость на 7. Такой ход годится лишь тогда, когда спрашивают общую скорость, а вода поступала одинаково все семь минут. В задачах 11, 12 и 21 сначала можно восстановить суммарную скорость, а уже после этого вычесть известную скорость одного крана. Проверка обратным ходом: сложите найденную и данную скорости, умножьте на время и убедитесь, что получили общий объём. В задачах с начальным запасом, например 7 и 8, разделить следует не всю вместимость, а разность между вместимостью и тем, что уже находилось в баке.

Примечание к задаче 16: после закрытия первого крана второй подаёт 12 литров за минуту. За шесть минут он даст только 72 литра; оставшиеся 8 литров поступят за две трети минуты, или 40 секунд. Такой ответ можно также записать как «6 минут и ещё две трети минуты». Здесь время дробное, хотя исходные объёмы и скорости заданы целыми числами.