Перебор вариантов покупки при фиксированном бюджете — практикум с ответами для 5 класса
5 класс · практикум по перебору. Нужно выбрать количества двух товаров так, чтобы не потратить больше бюджета или потратить его ровно. Важны не только подсчёты, но и доказательство, что других вариантов нет.
Содержание статьи5 разделов
Быстрая диагностика
Ручка стоит 20 тг, ластик — 10 тг. Есть 40 тг. Назови все покупки ровно на 40 тг, если можно брать по нулю штук каждого товара. Ответ: (0 ручек, 4 ластика), (1, 2), (2, 0). Если найдено меньше трёх вариантов, начни с систематической таблицы.
Как перечислить все покупки
Обозначь через a число товаров первого вида, через b — второго. Для цен 30 и 20 тг и бюджета 120 тг условие точной траты записывается как 30a + 20b = 120. Количества целые неотрицательные. Начни с a = 0 и увеличивай a по одному; вычисляй, каким должно быть b. Проверяй, что b — целое число, а дополнительные условия соблюдены. Для бюджета «не больше» вместо равенства будет знак ≤.
10 заданий: запиши пары (a; b) и обоснуй полноту
- Значок — 30 тг, наклейка — 20 тг. Бюджет 120 тг. Найди все покупки с точной тратой, ноль предметов одного вида разрешён.
- Сок — 40 тг, булочка — 35 тг. Бюджет 150 тг. Купи хотя бы по одному товару каждого вида и потрать ровно 150 тг.
- Карандаш — 25 тг, альбом — 50 тг. Бюджет 175 тг. Купи хотя бы один предмет каждого вида, потрать все деньги. Сколько возможных составов покупки?
- Книга — 60 тг, линейка — 30 тг. Бюджет 180 тг. Нужна хотя бы одна книга; линеек может не быть. Перечисли покупки ровно на 180 тг.
- Ластик — 15 тг, открытка — 20 тг. Бюджет 95 тг. Можно ли потратить всю сумму? Назови все варианты.
- Тетрадь — 45 тг, ручка — 35 тг. Есть 200 тг. Нужно купить не менее двух тетрадей и хотя бы одну ручку. Какое наибольшее число ручек можно взять, не превышая бюджет?
- Скрепка в упаковке — 25 тг, папка — 40 тг. Есть 125 тг. Обязательно нужна хотя бы одна папка. Есть ли покупка ровно на 125 тг?
- Лента — 20 тг, фоторамка — 45 тг. Бюджет 160 тг. Обязательна хотя бы одна рамка. Удастся ли израсходовать всю сумму?
- Блокнот — 40 тг, цветная папка — 50 тг. Есть 260 тг. Нужны оба вида товаров. Перечисли покупки с точной тратой.
- Мелки — 45 тг, фломастеры — 60 тг. Есть 300 тг. Можно отказаться от одного из видов. Найди все способы потратить ровно 300 тг.
Таблица самопроверки
| № | Верные количества (a; b) или ответ | Короткая проверка |
|---|---|---|
| 1 | (0; 6), (2; 3), (4; 0) | 30a + 20b = 120; при a = 0…4 целое b получается лишь при чётных a. |
| 2 | (2; 2) | 2 × 40 + 2 × 35 = 150. Остальные допустимые a не дают целого b. |
| 3 | (5; 1), (3; 2), (1; 3); всего 3 | 25a + 50b = 175, то есть a + 2b = 7; b = 1, 2, 3. |
| 4 | (1; 4), (2; 2), (3; 0) | 60a + 30b = 180, значит 2a + b = 6 и a ≥ 1. |
| 5 | (5; 1), (1; 4) | 15a + 20b = 95, или 3a + 4b = 19. |
| 6 | 3 ручки при 2 тетрадях | 2 × 45 + 3 × 35 = 195 ≤ 200; четвёртая ручка дала бы 230 тг. |
| 7 | Нет | При 1, 2, 3 папках остаётся 85, 45, 5 тг: ни одна сумма не кратна 25. |
| 8 | Нет | При 1, 2, 3 рамках остаётся 115, 70, 25 тг: ни одна сумма не кратна 20. |
| 9 | (4; 2) | 4 × 40 + 2 × 50 = 260; при b = 1…5 других целых a нет. |
| 10 | (4; 2), (0; 5) | 45a + 60b = 300, или 3a + 4b = 20. |
Три частые ошибки — и как их исправить
- Пропуск крайних случаев. Если разрешено a = 0, варианты (0; 6) или (0; 5) тоже покупки. Начинай перебор с нуля, а не с единицы.
- Подмена «ровно» на «не больше». В задаче 1 сочетание (1; 3) стоит 90 тг: оно укладывается в бюджет, но не тратит его полностью и потому не подходит.
- Неучёт обязательного товара. Если требуется хотя бы одна рамка, решение с нулём рамок запрещено, даже если сумма денег совпала. Все дополнительные условия проверяются после уравнения.
Для учителя: засчитывайте ответ как полный только тогда, когда ученик указал все сочетания и показал границы перебора. В задачах с точной тратой денежная единица во всех вычислениях — тенге.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.