Задачи на остатки при рассадке людей по группам — задания на закрепление, 5 класс

Закрепление для 5 класса. Когда людей распределяют по группам, остаток при делении обозначает людей, которые не вошли в полные группы. Их нельзя потерять: если каждому нужна группа, создают ещё одну, неполную. Это не то же самое, что количество свободных мест.

Алгоритм группировки

1. Установи максимальное число человек в одной группе (вместимость).
2. Раздели общее число участников на вместимость с остатком: N = kq + r, где 0 ≤ r < k.
3. Число полностью заполненных групп — q; остаток r показывает состав последней неполной группы.
4. Если r = 0, всего групп q. Если r > 0 и нужно разместить всех, всего q + 1.

Граница смысла: группа считается созданной даже при одном участнике. В заданиях не нужно распределять людей поровну; требуется не превышать максимальную вместимость каждой группы.

Три разобранных примера

Пример 1. Последняя группа неполная

28 человек рассаживают по группам до 6 человек. 28 = 6 × 4 + 4. Получаются четыре полных группы и ещё одна из четырёх участников. Всего 5 групп, остаток 4 человека. Проверка: 4 × 6 + 4 = 28 человек.

Пример 2. Деление без остатка

36 участников объединяют по 9. 36 = 9 × 4 + 0, значит образовались ровно 4 группы. Дополнительную пустую группу считать нельзя. Проверка: 4 × 9 = 36 участников.

Пример 3. Один участник — тоже группа

43 гостя размещают за столами до 8 человек. 43 = 8 × 5 + 3. За пятью столами сидят по восемь человек, за шестым — трое. Итого 6 столов; в последнем столе свободны 8 − 3 = 5 мест. Нельзя отвечать «три свободных места»: три — это количество людей, а не мест.

Задачи с подсказками: 12 самостоятельных шагов

Во всех задачах необходимо разместить каждого человека. Подсказки можно закрыть листом бумаги.

1. 47 школьников распределяют в кружки максимум по 5. Сколько получится полных кружков, сколько останется ребят и сколько кружков потребуется всего?

   Подсказка: 5 × 9 = 45.

2. 64 участника размещают в командах по 8. Сколько команд нужно?

   Подсказка: проверь, есть ли остаток.

3. 82 посетителя образуют экскурсионные группы не более 9 человек. Сколько полных групп и сколько групп всего?

   Подсказка: 9 × 9 = 81.

4. 73 спортсмена делят на группы максимум по 12. Сколько групп? Сколько человек в неполной?

   Подсказка: 12 × 6 = 72.

5. 58 участников занимают столы по 7 мест. Сколько понадобится столов, если все должны сидеть?

   Подсказка: 7 × 8 = 56.

6. 90 детей делят на группы по 11 человек (не больше). Сколько полных групп и сколько детей в последней?

   Подсказка: 11 × 8 = 88.

7. 101 человек распределяют в отделения по 10. Сколько всего отделений, если неполное отделение допустимо?

   Подсказка: десять полных отделений вмещают 100 человек.

8. 116 зрителей рассаживают в сектора по 15 человек. Сколько секторов заполнят полностью и сколько зрителей займут последний сектор?

   Подсказка: 15 × 7 = 105.

9. 49 туристов можно делить либо на группы по 8, либо по 7. В каком случае нужно меньше групп, если все участвуют?

   Подсказка: посчитай отдельно 49 : 8 и 49 : 7.

10. Для 52 человек подготовили 6 столов по 8 мест. Достаточно ли столов? Если нет, сколько добавить?

    Подсказка: 6 × 8 = 48.

11. 75 детей рассаживают по 9 мест. Сколько столов требуется? Сколько свободных мест останется суммарно за всеми выделенными столами?

    Подсказка: сравни 9 × 8 и 9 × 9.

12. 127 участников размещают в группах максимум по 16. Сколько групп? Сколько человек окажется в последней, сколько свободных мест в ней?

    Подсказка: 16 × 7 = 112.

Решения по шагам и полный ключ

1. 47 = 5 × 9 + 2: 9 полных, 2 человека в неполной; 10 кружков всего. Проверка 45 + 2 = 47.
2. 64 = 8 × 8: остаток 0, поэтому 8 команд, а не 9.
3. 82 = 9 × 9 + 1: 9 полных и ещё одна из одного человека; 10 групп всего.
4. 73 = 12 × 6 + 1: 7 групп всего, в последней 1 человек.
5. 58 = 7 × 8 + 2: 9 столов, потому что восемь столов оставят двоих без места.
6. 90 = 11 × 8 + 2: 8 полных групп, в девятой 2 ребёнка. Всего 9 групп.
7. 101 = 10 × 10 + 1: 11 отделений; одиннадцатое состоит из одного человека.
8. 116 = 15 × 7 + 11: 7 полных секторов, 11 зрителей в восьмом. Всего 8 секторов.
9. 49 = 8 × 6 + 1: нужны 7 групп по ограничению «не более 8»; 49 = 7 × 7: также нужны 7 групп по 7. Количество одинаково — 7 групп.
10. Шесть столов дают 6 × 8 = 48 мест, четверым мест нет. 52 = 8 × 6 + 4; требуется 7 столов, значит добавить 1.
11. 75 = 9 × 8 + 3: нужно 9 столов. Мест всего 9 × 9 = 81, поэтому 6 свободных мест. Проверка: 81 − 75 = 6.
12. 127 = 16 × 7 + 15: всего 8 групп, в последней 15 участников, а свободно в ней 1 место.

Почему ответы «остаток» и «число групп» нельзя смешивать

В записи 73 : 12 = 6 (ост. 1) число 6 означает полные группы, число 1 — людей в неполной группе. Число необходимых групп — 7. Если ученик отвечает 6, один участник остаётся без места; если отвечает 1, он перепутал остаток с количеством групп.

Как доказать, что меньшего числа групп недостаточно

Предположим, что 58 учеников хотят посадить за восемь столов, по семь мест за каждым. Даже при максимальном заполнении за восемью столами поместятся только 56 человек. Следовательно, восьми столов заведомо недостаточно. Девятый стол размещает двух оставшихся учеников, так что девять столов достаточно. Мы доказали и необходимость, и возможность такого ответа.

Такой способ проверки полезен, если ученик не уверен, почему при положительном остатке нужно прибавить единицу к частному. Общая схема: q полных групп вместят только q × k человек, а в условии их q × k + r, где r > 0. Значит без новой группы остаток останется вне рассадки. После добавления ещё одной группы вместимости хватит, потому что r меньше k.

Как отличить количество свободных мест от остатка

У последней группы с вместимостью 16 и остатком 15 человек останется одно свободное место. Если остаток равен 1, то свободных мест, наоборот, 15. Связь такова: свободные места в последней группе = вместимость − число людей в ней. Если последняя группа заполнена полностью, отдельной неполной группы вообще нет и дополнительных свободных мест не возникает.

При решении практических задач обращай внимание на слова «ровно по» и «не более». В этой карточке разрешены группы меньше максимальной вместимости. Если бы условие требовало сформировать только группы ровно по восемь человек, то 43 человека разместить по таким группам было бы невозможно без изменения числа участников. Именно формулировка определяет, что означает остаток.

Для самостоятельной проверки задай себе три вопроса: «Размещены ли все люди?», «Не превысил ли я вместимость группы?», «Назвал ли я единицу ответа?». Даже при разном заполнении групп минимальное число групп не может быть меньше того, которое даёт деление с остатком и округление вверх.