Пропорции в задачах на расход топлива при одинаковых условиях: пошаговые задания для 6 класса

Практикум для 6 класса: расчёты расхода топлива на расстояние при одинаковых дорожных условиях. Во всех задачах предполагается постоянный средний расход на километр. Скорость, загрузка, погода и состояние дороги не меняются; без этого условия пропорциональная модель может оказаться неверной.

Сначала — границы применимости

Если автомобиль на 100 км расходует r литров, то на d километров потребуется F = r × d : 100 литров. Если расход известен для расстояния a, то для расстояния b: F₂ = F₁ × b : a. Больше километров при той же норме — больше топлива; вдвое дальше — вдвое больше топлива. Но удвоение числа пассажиров не означает автоматического удвоения расхода: в этой карточке такого правила нет.

Особый случай: при нулевом пути расход по математической модели равен нулю; холостой ход не рассматриваем. Нельзя вычислять норму как «литры : 0 км». При дробном результате мы показываем точное десятичное значение, не округляя его до полной канистры. Если условие просит целые канистры — это уже другая задача с округлением вверх.

Образец рассуждения

На 200 км потрачено 14 л. Для 350 км при тех же условиях требуется 14 × 350 : 200 = 24,5 л. Проверка: на 100 км уходило 7 л; 350 км — это 3,5 сотни километров, значит 7 × 3,5 = 24,5 л. Два метода дали одинаковый ответ.

Уровень I — прямая пропорциональность (8 задач)

1. На 200 км ушло 14 л. Сколько литров нужно на 300 км?
2. За 150 км потрачено 9 л. Расход для 250 км?
3. На 80 км ушло 6 л. Сколько уйдёт на 240 км?
4. За 120 км потрачено 7,2 л. Сколько на 200 км?
5. На 50 км использовано 4 л. Сколько нужно на 125 км?
6. За 400 км потрачено 24 л. Сколько на 100 км?
7. За 90 км потрачено 5,4 л. Сколько на 150 км?
8. На 300 км ушло 18 л. Сколько на 450 км?

Проверка направления: в № 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 расстояние растёт и количество литров тоже должно расти. В № 6 расстояние сокращается: результат должен быть меньше 24 л.

Уровень II — выбираем неизвестную величину (8 задач)

9. Норма 7 л на 100 км. Каков расход на 360 км?
10. Норма 8,5 л на 100 км. Сколько нужно на 240 км?
11. Расход 6 л на 100 км. На сколько километров хватит 30 л?
12. За 600 км расходуется 42 л. Определите норму на 100 км.
13. На 160 км ушло 12 л. Найдите норму расхода на 100 км.
14. На 120 км требуется 9 л. Сколько на 280 км?
15. На 240 км ушло 18 л. На какой путь хватит 30 л?
16. Норма расхода 5,5 л на 100 км. Сколько литров требуется на 400 км?

В № 11 и № 15 неизвестно расстояние, а не расход: сначала найдите, сколько километров автомобиль проезжает на одном литре, либо составьте равенство отношений. В № 12 и № 13 единица ответа — л/100 км. Подпись «литров» без «на 100 км» в таких заданиях неполна.

Уровень III — поездка и решение о достаточности запаса (8 задач)

17. Норма 7,5 л/100 км. Маршрут 160 км в одну сторону и столько же обратно. Сколько топлива на весь путь?
18. Норма 6,4 л/100 км; поездка 250 км. В баке было 25 л. Сколько останется?
19. Норма 8 л/100 км; маршрут 450 км; бак содержит 40 л. Сколько останется?
20. За 200 км машина тратит 12 л. Хватит ли 25 л на 350 км? Сколько останется?
21. Три одинаковых автомобиля проезжают каждый по 180 км при норме 9 л/100 км. Сколько литров на все машины?
22. Норма 6,8 л/100 км. Расход на 275 км?
23. На 500 км ушло 40 л. Сколько требуется на 125 км?
24. Норма 7,2 л/100 км, топлива 36 л. Хватит ли без дозаправки на 260 км туда и обратно?

В задаче 24 слово «обратно» важно: сравнивать запас только с 260 км ошибочно. Сначала сложите длину двух плеч маршрута. В задаче 21 три автомобиля расходуют топливо каждый отдельно: нельзя умножить норму на суммарное расстояние, если при этом забыли число машин.

Составление пропорции двумя способами

Рассмотрим № 10. Можно использовать норму: 8,5 л на 100 км означает 0,085 л на 1 км, а на 240 км потребуется 0,085 × 240 = 20,4 л. Можно составить пропорцию: 8,5 : 100 = x : 240, откуда x = 8,5 × 240 : 100. Оба способа равнозначны. Записывайте, что обозначает x: именно литры топлива, а не километры или стоимость поездки.

В № 22 расстояние составляет 2,75 сотни километров. Поэтому число 6,8 надо умножить на 2,75. Удобная проверка без калькулятора: 6,8 × 2 = 13,6; 6,8 × 0,75 = 5,1; сумма равна 18,7. Если получился ответ 187 л, скорее всего потеряна десятичная запятая.

В № 21 можно сначала сложить пробеги одинаковых машин: всего 3 × 180 = 540 машино-километров. При единой норме 9 л/100 км общий расход равен 9 × 540 : 100 = 48,6 л. Но если бы машины имели разные нормы расхода, объединять их пробеги с одной нормой было бы нельзя: пришлось бы считать каждую отдельно и складывать объёмы в литрах.

Полный ключ с вычислениями

Уровень I

Уровень II

Уровень III

Разбор сложных случаев и самоконтроль

№ 11: 30 л — это в 5 раз больше 6 л, поэтому при неизменной норме путь в 5 раз больше 100 км, то есть 500 км. № 15: 30 л составляет 30 : 18 = 5/3 от 18 л, значит и путь будет 240 × 5/3 = 400 км. Эти два способа не зависят от скорости движения, поскольку расход на километр по условию фиксирован.

№ 24: проверка через требуемый запас даёт 520 × 7,2 : 100 = 37,44 л. В баке 36 л, то есть дефицит 1,44 л. Проверка через максимальный путь дала тот же вывод: 500 км меньше 520 км на 20 км. Для 20 км расход 20 × 7,2 : 100 = 1,44 л.

Ответ в литрах должен выражать объём, в километрах — путь, а в л/100 км — норму. Ошибку размерности легко обнаружить до окончательного вычисления. Например, число «7,5» без единицы в № 13 не показывает, что речь о норме топлива, а не о полном объёме поездки.

Отдельно проверьте смысл дробной части: 20,4 л — это 20 литров и 400 миллилитров, а не 20 литров и 4 миллилитра. Для перевода дробной доли литра в миллилитры нужно умножить её на 1000. В условиях не сказано, что бензин продаётся только целыми литрами, поэтому округлять точные ответы вверх не требуется.

Критерии: 1 балл за верную модель, 1 балл за вычисления, 1 балл за правильные единицы (до 72 баллов). Для проверки понимания объясните своими словами, почему нельзя использовать постоянный расход при изменении дорожных условий, если новая норма заранее неизвестна.